Mapa coordenada espacio proyectivo

Question

Dada una línea bundle $\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D)$ sobre una suave curva completa $X$ ( $\mathbb{C}$ ), es muy bien sabido que si el espacio global de las secciones ha $k+1$ punto de base libre, linealmente independientes secciones $s_0, \cdots ,s_k$ (suponiendo que $\text{dim}_{\mathbb{C}} \Gamma(X,L)=k+1$), entonces no es un morfismos $f: X \to \mathbb{P}^k$ definido por $x \mapsto [s_0(x):\cdots:s_k(x)].$

Cuáles son las coordenadas de mapas gratuitas $X \to \mathbb{P}(\Gamma(X,\mathcal{L}))?$ tiene uno a elegir siempre las coordenadas para definir $f?$

Yo estaba pensando que el bijection entre el $\mathbb{P}(\Gamma(X,\mathcal{L}))$ completa y el sistema lineal de los divisores $|D|$ podrían ser útiles, pero estoy perdiendo mi fe ahora!

Answer 1

No, no hay ningún coordinar libre descripción de $f$.
Sin embargo sí existe un canónica de morfismos $g:X\to \mathbb P^*(\Gamma(X,\mathcal L))$ $X$ a la Grassmannian $\mathbb P^*(\Gamma(X,\mathcal L)$ de hyperplanes de la $\mathbb C$- espacio vectorial $\Gamma(X,\mathcal L)$.
Este Grassmannian es también un espacio proyectivo, no canónicamente isomorfo a $\mathbb P(\Gamma(X,\mathcal L)$, así como un finito-dimensional espacio vectorial no es canónicamente isomorfo a su doble.

La descripción de los morfismos $g$ es muy fácil:
A $x\in X$ asociado a la hyperplane $g(x)=H_x$ de las secciones $s$ $\mathcal L $ fuga en $x$ : $$H_x=\{s\in \Gamma(X,\mathcal L)\mid s(x)=0\}\subset \Gamma(X,\mathcal L)$$
Que $H_x$ es un hyperplane de $\Gamma(X,\mathcal L)$ (y no todo el espacio de $\Gamma(X,\mathcal L)$) está garantizada por la ausencia de puntos de base para la línea de paquete de $\mathcal L$ .

[Esta y otras consideraciones han llevado a Grothendieck para redefinir el espacio proyectivo como el conjunto de hyperplanes de un espacio vectorial (más que el conjunto de líneas), con lo que la introducción de la geometría algebraica de una confusión que sigue presente hoy en día :-)]