¿Es un grupo finito centerless perfecto?

Question

Grandes grupos de simétrico me fallan. Pero ¿a qué distancia son grupos centerless de ser perfecto? Me refiero a salvo cuántos casos de cómo ahora.

Answer 1

Complementando Kaj del ejemplo con la siguiente lista de ejemplos de grupos de $G_p$, indexado por los números primos $p$, tal que:

1. el centro de $G_p$ es trivial, y
2. el colector $[G_p,G_p]$ es de índice$p$$G_p$.

La construcción es simple. Deje $q$ más primer satisfacer la congruencia $q\equiv1\pmod p$. Tales números primos existen. El gran martillo para esto es de Dirichlet del teorema de los números primos en progresiones aritméticas. Voy a swing que en aras de la brevedad.

Debido a que el grupo multiplicativo $\Bbb{Z}_q^*$ es cíclico de orden $q-1$ tiene un elemento $a$ orden $p$. Vamos a definir el producto semidirect $$ G_p=C_q\rtimes C_p, $$ donde un generador de $z$ $C_p$ actúa en $C_q$ través $zxz^{-1}=x^a$ todos los $x\in C_q$. En otras palabras, usamos el homomorphism $\phi:C_p\to\operatorname{Aut}(C_q)\simeq \Bbb{Z}_q^*$ definido por $\phi(z^i)=a^i$ todos los $i$ para la construcción de la semi-directa del producto.

Así que tenemos la descomposición de la serie $$ \{1\}\unlhd C_q\unlhd G_p. $$ Vamos a comprobar las afirmaciones:

1. Debido a $a$ orden $p$ no no trivial poder de $z$ viajes con $C_q$. Por lo tanto, $C_q$ es su propia centralizador en $G_p$. En consecuencia, el centro de $G_p$ es trivial.
2. El cociente grupo $G_p/C_q\simeq C_p$ es abelian, por lo $[G_p,G_p]\le C_q$. Como $G_p$ no es abelian, el colector de los subgrupos debe ser todos los de $C_q$. Por lo tanto, $[G:G_p']=p$ como se reivindica.

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Si $n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$ es cualquier entero positivo podemos utilizar el de la construcción y considerar el grupo finito $$ G=G_{p_1}^{a_1}\times G_{p_2}^{a_2}\times\cdots\times G_{p_k}^{a_k} $$ como un ejemplo de grupo que $Z(G)$ es trivial, y $[G:G']=n$.

Answer 2

No necesariamente. Uno puede mostrar que $S_3$ ha trivial centro.

También se puede mostrar que el colector de un subgrupo de $S_3$ no $S_3$ sí, recordando que el colector de un subgrupo de un grupo de $G$ es el menor subgrupo normal para que $G/N$ es abelian. Tenga en cuenta que $A_3$ es normal en $S_3$ debido a que tiene el índice de $2$, e $S_3/A_3 \cong \mathbb{Z}_2$, un grupo abelian.

Por lo tanto, el colector de un subgrupo de $S_3$$A_3$, lo $S_3$ no es perfecto.

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Edit: Esto funciona para todos $S_n$, $n \geq 3$.