¿Por qué un incoherente sistema formal puede probar todo?

Question

Estoy leyendo una Teoría de conjuntos libro de Kunen. Se presenta la lógica de primer orden, y afirma que si un conjunto de frases incoherentes, entonces se demuestra cada posible sentencia. Dado que no se especifica explícitamente las reglas de inferencia, me dio curiosidad de cómo fundamentales de esta propiedad de los sistemas inconsistentes.

Así que mi pregunta es ¿cuál es la más sencilla prueba, con el menor uso de suposiciones, de la vaga afirmación de que "incoherente sistemas puede probar cualquier cosa" - en particular, estoy interesado en los supuestos sobre el sistema que se necesita para probar que esto es cierto sólo para el primer fin de lógica? Sólo para el primer fin de lógica con el "estándar" de las reglas de inferencia (Modus ponens y GEN)? O es una verdad básica que puede ser demostrado por cada "razonable" la prueba del sistema (y lo que es "razonable")?

Answer 1

Si $T$ es un conjunto inconsistente de primer orden teoremas (o axiomas para la prueba), entonces es posible demostrar de $T$ algunos $\alpha$$\alpha$$\neg \alpha$. Así que sin pérdida de generalidad podemos suponer que $T$ incluye a $\alpha$$\neg\alpha$.

Ahora supongamos que $\beta$ es lo de primer orden de la frase que desea probar.

1. $\alpha$ ($T$)
2. $\beta \to \alpha$ (verificar con facilidad para ser cierto ya que $\alpha$ es un axioma de la $T$)
3. $\neg \alpha \to \neg \beta$ (Contrapositivo De La Ley)
4. $\neg \alpha$ (axioma de $T$)
5. $\neg \beta$ (inferirse a partir de 3 & 4)
6. $\neg \beta \to \alpha$ (sujeta por la misma razón que en el 2, es más, tenemos $\neg\beta$)
7. $\neg \alpha \to \neg\neg\beta$
8. $\neg \neg \beta$ (inferirse a partir de 4,7)
9. $\neg \neg \beta \to \beta$ (tautología)
10. $\beta$ (inferido a partir 8,9)

Así que usted puede ver, se puede probar casi cualquier cosa que desee de $\\{\alpha ,\neg\alpha\\}$ para algunos de primer orden de la frase $\alpha$.

Answer 2

No se tiene que: lógicas que no son llamados paraconsistent.

El más importante paraconsistent lógica es la importancia de la lógica, que repudia la K axioma: $$\alpha \rightarrow \beta \rightarrow \alpha$$ y lo reemplaza por axiomas que no permiten ahí para ser utilizados supuestos. Esto es equivalente a decir debilitamiento, el principio de que si $\Gamma \vdash \alpha$$\Gamma'\vdash \alpha$$\Gamma\subset\Gamma'$. Esta bloques derivaciones tales como Weltschmertz, que apela a la K axioma de una vez, Asaf del que la usa dos veces; Francesco apelaciones a la monotonía en su prueba, que es otro nombre para el debilitamiento.

No es difícil ver que esto también bloques de pruebas de todo, desde un contradictorio par de proposiciones, en una lógica de la satisfacción de compacidad, ya que uno puede probar inductivamente acerca de tales sistemas de prueba de que si $\alpha\rightarrow\beta$, a continuación, todas positivas de los átomos en $\beta$ debe ocurrir ya sea negativa en $\beta$ o positivamente en $\alpha$. Por tanto, si nuestro contradictorias par (a través de una suposición) toma la forma $\alpha\rightarrow\beta$$\alpha\rightarrow\neg\beta$, tenemos que demostrar por cualquier $\gamma$ que $\alpha\rightarrow\gamma$. Pero si elegimos $\gamma$ a ser positivos átomo no ocurren en $\alpha$, nuestro inductivo prueba nos dice que esto no puede ser hecho. Necesitamos compacidad aquí, para asegurarse de que la base de todos los pares contradictorios puede ser expresada por una finitary fórmula.

Answer 3

De mi recuerdo, es algo como esto: si $K$ es de primer orden incoherente teoría, no existe, por definición, una fórmula $C$ tal que $\vdash_{K} C$$\vdash_{K}\neg C$. Si $D$ es una fórmula arbitraria en $K$, entonces tenemos la siguiente cadena (prueba):

1. $C$
2. $\neg C$
3. $\neg C \Rightarrow (C\Rightarrow D)$ (Tautología)
4. $C \Rightarrow D$ (2,3, Modus Ponens)
5. $D$ (1,4, El Modus Ponens).

Ahora, si la inconsistencia se define de la misma manera que la lógica de cualquier otro orden, creo que esta prueba no iba a cambiar. Yo no veo nada explícito sobre la primera orderness en ella, pero me corrija si estoy equivocado.

Answer 4

Si usted asume la deducción natural, esto es fácil de explicar. Deje $\Sigma$ ser un incoherente conjunto de axiomas. Esto significa que usted puede probar tanto $\phi$ $\lnot\phi$ para algunos declaración de $\phi$: en símbolos $\Sigma\vdash\phi$$\Sigma\vdash\lnot\phi$. Ahora supongamos que la negación de cualquier declaración $\psi$ le gustaría probar, pero ya que, por la monotonía, $\Sigma\cup\{\lnot\psi\}\vdash\phi$$\Sigma\cup\{\lnot\psi\}\vdash\lnot\phi$, se puede aplicar la negación de la eliminación de la obtención de $\Sigma\vdash\psi$.