Integración con un poco de la regla de Leibnitz

Question

El problema es simple. Pero la solución es donde tengo mi duda. También agradecería si alguien me podría llenar en todos los puntos donde tengo que consultar para convergation para que el procedimiento correcto.

$$\int_0^\infty \frac{\cos(bx)-\cos(cx)}x e^{-ax} \,dx $$ for all $a,b,c \in \rm I\!R ; a>0$

A partir de aquí es obvio que podemos reescribir esto como $$\frac d{dt} \left.\int_0^\infty \frac{cos(tx)}x e^{-ax}\right|_c^b \,dx =\int_0^\infty \int_c^b {\sin(tx)} e^{-ax} \,dx \,dt= \int_c^b I\,dt$$

A continuación, a través de la doble por partes $$I=\int_0^\infty {\sin(tx)} e^{-ax}\,dx = \left.\frac{-1}{a}\sin(tx)e^{-ax}\right|_{t=0}^\infty + \frac ta \int_0^\infty {cos(tx)} e^{-ax}dx =$$ $$=\left. \frac{-\sin(tx)e^{-ax}}a \right|_{t=0}^\infty - \left. \frac t a {\cos(tx)e^{-ax}}\right|_{t=0}^\infty - \frac{t^2}{a^2}\int_0^\infty {\sin(tx)} e^{-ax}\,dx$$ $$I=\frac ta-\frac{t^2}{a^2}I$$ $$I=\frac{\frac ta}{1+\frac{t^2}{a^2}}$$ $$\int_c^b\frac{\frac ta}{1+\frac{t^2}{a^2}}=\int_{c/a}^{b/a}\frac{u}{1+u^2}=\frac12\ln(\frac dc)$$

Me resulta extraño que mi resultado final no depende en absoluto del parámetro ' $a$ Simplemente no suena bien.

Y me gustaría llenar donde covnergation o cualquier otros posibles puntos de ruptura deben ser controlados.

EDIT: UNA errata...probablemente más por venir.

Answer 1

En el OP, que hubo una falla en el inicio del desarrollo. La integral de interés es $I(a)=\int_0^\infty \frac{\cos(bx)-\cos(cx)}{x}e^{-ax}\,dx$.

Pero, $I(a)$ no es igual a $\left.\left(\frac{d}{dt}\int_0^\infty \frac{\cos(tx)}{x}e^{-ax}\,dx\right)\right|_{c}^{b}$. De hecho, esta última integral no existen debido a la $\frac1x$ singularidad en $x=0$.

En este documento, se presentan dos metodologías que podemos utilizar para evaluar $I(a)$.

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NOTA: Puesto que la integral es incluso en $b$$c$, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $b\ge 0$$c \ge 0$.

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METODOLOGÍA de $(1)$: la Diferenciación Bajo el Signo Integral

Aquí es un enfoque directo. Deje $I(a)$ ser dada por

$$I(a)=\int_0^\infty \frac{\cos(bx)-\cos(cx)}{x}e^{-ax}\,dx$$

La diferenciación revela

$$I'(a)=\int_0^\infty e^{-ax}\left(\cos(cx)-\cos(bx)\right)\,dx=\frac{a}{a^2+c^2}-\frac{a}{a^2+b^2}$$

La integración de $I'(a)$, obtenemos

$$I(a)-I(0)=\int_0^a \left(\frac{t}{t^2+c^2}-\frac{t}{t^2+b^2}\right)\,dt=\frac12\log\left(\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2}\right)-\log(c/b)$$

El uso de una versión ligeramente modificada de Frullani del Teorema, nos encontramos con que $I(0)=\log(c/b)$. Por lo tanto,

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^\infty \frac{\cos(bx)-\cos(cx)}{x}e^{-ax}\,dx=\frac12\log\left(\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2}\right)}$$

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METODOLOGÍA de $(2)$: Aplicar Frullani del Teorema de Parámetros Complejos

En ESTA RESPUESTA, me mostró que si $f(z)$ es analítica, entonces, la siguiente generalización de Frullani del Teorema vale para el complejo de los parámetros de $a$$b$:

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,dx&=f(0)\log(|b/a|)\\\\ &+if(0)\left(\arctan\left(\frac{\text{Re}(a\bar b)-|a|^2}{\text{Im}(a\bar b)}\right)-\arctan\left(\frac{|b|^2-\text{Re}(a\bar b)}{\text{Im}(a\bar b)}\right)\right) \tag 1 \end{align}$$

Entonces, podemos escribir

$$I(a)=\text{Re}\left(\int_0^\infty \frac{e^{-(a-ib)x}-e^{-(a-ic)x}}{x}\,dx\right)$$

La aplicación de $(1)$ con $f(z)=e^{-z}$, $a\to a-ib$ y $b\to a-ic$ rendimientos

$$\begin{align} I(a)&=e^{-(0)}\log\left(\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac12\log\left(\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2}\right)} \end{align}$$

como se esperaba!

Answer 2

Me sale:

$\frac {d} {dt} \int_0^\infty \frac{\cos(tx)} x e ^ {-ax} | _c ^ b dx \\ \int_0^\infty \int_c^b {\sin(tx)} e ^ {-ax} dt dx\\ \int_c^b\int_0^\infty {\sin(tx)} e ^ {-ax} dxdt\\ \int_c^b \frac {t} {una ^ 2 + t ^ 2} \frac dt\\ 12 (\ln (a ^ 2 + b ^ 2)-\ LN (a ^ 2 + c ^ 2)) $