¿Cuándo un espacio vectorial de polinomios es denso en $C([0,1])$ ?

Question

El teorema de Weierstrass afirma, en particular, que el conjunto de los polinomios con coeficientes reales es denso (con la norma supremum) en el conjunto de las funciones continuas sobre $[0,1]$ . Utilizando el teorema de Stone-Weierstrass, se puede especializar aún más: el conjunto de polinomios en los que cada monomio es de grado par (por ejemplo, $x^6+3x^4+7$ es uno, pero $x^2+x$ no lo es) cumple las condiciones, y vuelve a ser denso en $C([0,1])$ . Más adelante, el álgebra generada por $x^n$ y $1$ vuelve a ser denso por las mismas razones. Pero, ¿hasta qué punto pueden ser dispersos los conjuntos densos? ¿Qué importancia tiene la condición de álgebra?

Dado un subconjunto $S \subset \Bbb N$ cuando es el espacio vectorial $P_S$ generado por $\{x^n : n \in S\}$ denso en $C([0,1])$ ? En concreto, ¿qué pasaría si $S$ ¿es el impar entero positivo (y 0)?

Por supuesto, si S contiene todos los múltiplos de algún $n$ , $P_S$ es denso por el argumento anterior; y si es finito, $P_S$ no es denso. Pero soy incapaz de ver nada más.

Answer 1

A esto responde el Teorema de Müntz-Szász . Incluya $0$ entonces cualquier secuencia de enteros positivos tal que la suma de sus recíprocos diverge.

Otra forma de ver que se puede utilizar $0$ junto con los números de impar es tomar $g(x)=f(x)-f(0)$ a continuación, amplíe $g$ a una función impar (continua) sobre $[-1,1]$ a continuación, utilice el teorema de aproximación de Weierstrass para aproximar $g$ con polinomios impar, y luego añadir $f(0)$ .