Cálculo del retroceso de un $2$ -forma

Question

Tengo un $2$ -dada por $\omega = dx \wedge dp + dy \wedge dq$ y un mapa $i : (u,v) \mapsto (u,v,f_u,-f_v)$ para un mapa general suave $f : (u,v) \mapsto f(u,v)$ . Quiero calcular el retroceso de este mapa, es decir $i^*\omega$ . Entiendo que en este caso, \begin{align} i^*\omega &= i^*(dx \wedge dp + dy \wedge dq) \\ &= d(x \circ i)\wedge d(p \circ i) + d(y \circ i)\wedge d(q \circ i). \end{align} Ahora, calculando cada uno de los términos se obtiene \begin{align} d(x \circ i) &= d(u) = du, \\ d(y \circ i) &= d(v) = dv, \\ d(p \circ i) &= d(f_u) = f_{uu}du + f_{uv}dv, \\ d(q \circ i) &= d(-f_v) = -f_{vu}du - f_{vv}dv. \end{align} Entonces, el pullback viene dado por \begin{align} i^*\omega &= du \wedge (f_{uu}du + f_{uv}dv) - dv \wedge (f_{vu}du + f_{vv}dv) \\ &= du \wedge (f_{uu}du) + du \wedge (f_{uv}dv) - dv \wedge (f_{vu}du) - dv \wedge (f_{vv}dv). \end{align} ¿Podría alguien verificar que es correcto? ¿Se puede simplificar más? He intentado seguir los pasos descritos en este pregunta.

Nota. Esto no es una pregunta de tarea, sólo estoy tratando de enseñarme algo de geometría diferencial.

Answer 1

Sí, sus cálculos son correctos.

Dos cosas que hay que recordar: el producto de la cuña es $C^\infty(M)$ -bilineal en lugar de sólo $\Bbb R$ -bilineal, y $du \wedge dv = -dv\wedge du$ (o, más generalmente, si $\omega$ es una forma k y $\mu$ un $l$ -forma, entonces $\omega \wedge \mu = (-1)^{kl}\mu \wedge \omega$ ). Usando esto, deberías ser capaz de simplificar tu última ecuación a $$i^*\omega =2f_{uv} du \wedge dv.$$