¿Cuál es el último dígito de $\operatorname{lcm}(3^{2003}-1,3^{2003}+1)$ ?

Question

¿Cuál es el último dígito de $\operatorname{lcm}(3^{2003}-1,3^{2003}+1)$ ?

He podido comprobar que LCM es $\dfrac{3^{4006}-1}2$ . Desde $3^{4006}$ tiene el último dígito como $8$ Ahora, el penúltimo dígito puede ser cualquier cosa, desde $0-9$ . Basado en ese segundo último dígito, mi respuesta variará. Por favor, ayúdame a ir más allá.

Answer 1

Los dos números tienen GCD igual a $2$ . Así que, básicamente estás pidiendo el último dígito de $(3^{2003}-1)(3^{2003}+1)/2 = (3^{4006}-1)/2$ .

Por el teorema de Fermat, $3^{10 \cdot 4} \equiv 1 \pmod{100}$ , ya que: $$\phi(100) = \phi(5^2 \cdot 2^2) = 5 \cdot 2 \cdot (5-1) \cdot (2-1) = 40 .$$

Así, los dos últimos dígitos de $(3^{4006}-1)$ son los mismos que los de $3^{6}-1 = 728$ . Por lo tanto, el último dígito de $(3^{4006}-1)/2$ es $4$ ya que no tienes ningún arrastre de los dieces.

Answer 2

$$3^{4006}=9^{2003}$$ $$=(10-1)^{2003}\equiv-1+\binom{2003}110+\binom{2003}210^2-\binom{2003}310^3+\cdots+10^{2003}$$ $$\equiv-1+2003\cdot10+\frac{2003\cdot2002}2\cdot10^2\pmod{200}$$

Como $2003\equiv3,2002\equiv2\pmod {200}$ $$\implies 3^{4006}\equiv-1+3\cdot10+\frac{3\cdot2}2\cdot10^2\equiv329\equiv129\pmod{200}=200a+129$$ donde $a$ es un número entero

$$\implies \frac{3^{4006}-1}2=\frac{200a+129-1}2=100a+64\equiv64\pmod{100}$$