Mostrar que la secuencia de $\sqrt{2},\sqrt{2\sqrt{2}},\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},...$ converge y encontrar su límite.

Question

Mostrar que la secuencia $$\sqrt{2},\sqrt{2\sqrt{2}},\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},...$$ converges and find its limit. I put the sequence in this form , $(x_n)$ where $$\large x_n=2^{\Large\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2^k}\right)}$$ quiero usar Monótona Teorema de Convergencia para mostrar. Pero me quedé a probar la secuencia está acotada arriba por 2. Me las arreglo para demostrar la secuencia es un aumento de la secuencia. Alguien me puede orientar ? Trato de usar la inducción para probar pero me quedé en el paso inductivo.

Answer 1

La serie geométrica $\sum_{k=1}^{\infty}(1/2)^k = 1$ .

Por lo tanto $x_n = 2^{\sum_{k=1}^n (1/2)^k} \le 2$. Por lo tanto, La sucesión es acotada arriba por $2$ y por lo tanto la serie converge, ya que es cada vez mayor. Ahora usted puede utilizar la sugerencia dada por ferson2020 ver que el límite de $L$ tiene la propiedad de $L = \sqrt{2L}$ y, por tanto,$L = 2$.

Añadido: no estoy seguro de si usted probó la fórmula

$$x_n = 2^{\sum_{k=1}^n (1/2)^k}$$ so I give a proof here. We proceed with induction on n. The base case $n = 1$ holds by definition. Now assume it holds for $x_n$, we show that it is holds for $x_{n+1}$.

Tenemos $x_n = \sqrt{2x_n}$.

Así que por la hipótesis inductiva: $$x_{n+1} = \sqrt{2 \cdot 2^{\sum_{k=1}^n (1/2)^k}} = 2^{({\sum_{k=1}^n (1/2)^k} +1)/2}$$

Ahora ,

$ S = \sum_{k=1}^n (1/2)^k = 1/2 + 1/4 + \ldots 1/2^n$

y si multiplicamos este con $1/2$ obtenemos $1/4 + 1/8 + \ldots 1/2^{n+1}$.

Por lo $$S/2 = \sum_{k=2}^{n+1}(1/2)^k$$

A continuación, $$S/2 + 1/2 = \sum_{k=1}^{n+1}(1/2)^k$ $

Así que tenemos $x_{n+1} = 2^{(S +1)/2}= 2^{\sum_{k=1}^{n+1}(1/2)^k}$ esto completa la prueba.

Answer 2

Si usted ya ha demostrado la forma exponencial de $x_n$, entonces, es fácil, como $t\mapsto 2^t$ es continua, y el exponente $$\sum_{k=1}^n \frac1{2^k} \ = 1-\frac1{2^{n+1}} \ \ \overset{n\to\infty}\longrightarrow \ 1 \ ,$$ de modo que su límite es $2^1=2$.

Answer 3

Tenemos la reecursive definición $a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2a_n}.$ (con suerte, eso está claro.)

Se ha demostrado que el $a_n$ forma de un aumento de la secuencia, y usted sabe que $a_1<2.$ Para la inducción de paso, queremos mostrar que si $a_n<2,$ $a_{n+1}<2.$ tenga en cuenta que todas las $a_n$ son positivos (desde $a_1$ es y la secuencia es cada vez mayor), y tenga en cuenta que para $0\leq x<y$ tenemos $\sqrt{x}<\sqrt{y}$. Por lo tanto, si $a_n<2$,$2a_n<4$, y por lo $$a_{n+1}=\sqrt{2a_n}<\sqrt{4}=2,$$ como se desee.

En general, si usted está tratando de probar algo como esto, usted querrá ser capaz de reescribir $a_{n+1}$ en términos de $a_n$ para permitir el paso de inducción al trabajo.

Answer 4

Sugerencia: $$2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\cdots} = 2^1$$

Answer 5

Deje $x^* = \lim_{n\to\infty} a_n$

Observe que $a_n = \sqrt{2a_{n-1}}$.
Por lo tanto $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt{2a_{n-1}}$ $\Rightarrow $

$$ x^* = \sqrt{2x^*} \Longrightarrow\\ (x^*)^2 - 2x^* = 0 \Longrightarrow\\ x^* = 2 \;\;\;\text{ o } \;\;\; x^* = 0 $$ Así, una vez que haya establecido que la secuencia es no decreciente, $$ x^* = \lim_{n\to\infty} a_n = 2 $$