Geodésicas en el producto de múltiples

Question

Dadas dos de Riemann colectores $(M, g_1)$$(N, g_2)$, y geodésica curvas de $\gamma(t)$$M$$\chi(t)$$N$. Es la curva de $\Gamma(t) = (\gamma(t),\chi(t))$ una geodésica en el producto colector $(M \times N, g_1 + g_2)$ ? Es una geodésica si ahora consideramos el producto colector $(M \times N, \alpha g_1 + \beta g_2)$ donde $\alpha$ $\beta$ son dos positivo (o cero) escalar constantes ?

$$ $$

EDIT: Aunque creo que debería ser el caso (geodésica), ¿me podrías decir si mi contra-ejemplo es el correcto:

Vamos a decir $g_1$ es la euclídea, y $g_2$ no lo es. Estoy interesada en saber si $\nabla_{\dot\Gamma}\dot\Gamma$ sólo tiene componentes a lo largo de $\dot\Gamma$ (ie., $\Gamma$ es autoparallel). Vamos a llamar a la de Levi-Civita conexiones en $M$$N$$\nabla^1$$\nabla^2$. Desde $g_1$ es la euclídea, $\nabla^1_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$. La proyección de $\nabla_{\dot\Gamma}\dot\Gamma$ $\dot\Gamma^\perp$ (para comprobar si su asesino componente es $0$), obtengo $\nabla^{(\pi)}_{\dot \Gamma}\dot\Gamma = (0, \nabla^2_{\dot\chi}\dot\chi - \frac{g_2(\nabla^2_{\dot\chi}\dot\chi,\dot\chi)}{g_1(\dot\gamma,\dot\gamma)+g_2(\dot\chi,\dot\chi)}\dot\chi)$. Este segundo plazo no se espera que sea cero, ¿verdad? Desde $\chi$ es geodésicos, sólo $\nabla^2_{\dot\chi}\dot\chi - \frac{g_2(\nabla^2_{\dot\chi}\dot\chi,\dot\chi)}{g_2(\dot\chi,\dot\chi)}\dot\chi)$ es cero...

Gracias!

Answer 1

El hecho clave es la condición que $\gamma$ es una geodésica es estrictamente más fuerte que la condición de que la imagen de $\gamma$ es totalmente geodésica.

Esto es claro a partir de las ecuaciones decir $\gamma$ es una geodésica significa $\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma} = 0$, mientras que la imagen de $\gamma$ está totalmente en línea geodésica significa $$\nabla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma} - \frac{g(\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}, \dot{\gamma} )}{g(\dot{\gamma}, \dot{\gamma})}\dot{\gamma} = 0.$$

Si la imagen de $\gamma$ es totalmente geodésica que se deduce que por reparamaterizing $\gamma$, se convierte en una geodésica.

Ahora, supongamos $\Gamma = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$. Si $\gamma_1$ $\gamma_2$ son tanto geodesics (significado $\nabla_{\dot{\gamma}_i} \dot{\gamma}_i = 0$$i = 1,2$), después por las ecuaciones anteriores, $\Gamma$ es una geodésica.

Por otro lado, si $\gamma_1$ es una geodésica y $\gamma_2$ sólo tiene totalmente geodésica de la imagen, a continuación, $\Gamma = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$ no necesita ser totalmente geodésica. Sus ecuaciones de demostrar exactamente por qué usted no debe esperar a ser, pero aquí es un hormigón contraejemplo.

Considere la posibilidad de $M_1 = M_2 = \mathbb{R}$. Deje $\gamma_1(t) = t$ y deje $\gamma_2 = t^3$. A continuación, $\gamma_1$ es una geodésica y la imagen de $\gamma_2$ es totalmente geodésica porque no hay ningún sentido en absoluto. (Si esto es demasiado trivial, tomar $M_1 = M_2 = \mathbb{R}^2$, $\gamma_1(t) = (t,0)$ y $\gamma_2(t) = (t^3, 0)$ - el resto del argumento se va a trabajar en cualquiera de los casos). A continuación, en $M_1\times M_2$, la imagen de $\Gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$ es la gráfica de un polinomio cúbico, por lo que NO es una línea recta, por lo que no es una geodésica. Ni es el subconjunto totalmente geodésica.

Answer 2

Se da la conexión de Levi Civita $\widetilde{\nabla}$ de producto $M\times N$ $\widetilde{\nabla}=\nabla^1+\nabla^2$ donde $\nabla^1$ es la conexión de Levi Civita de $M$ y $\nabla^2$ es la conexión de Levi Civita de $N$ tal que si $X=(X_1,X_2)$ y $Y=(Y_1,Y_2)$ son campos tangentes en $M\times N$, entonces el $\widetilde{\nabla}_XY=\nabla^1_{X_1}Y_1+\nabla^2_{X_2}Y_2$. Consequente, se $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son geodésicas de $M$ y $N$ respectivamente, se deduce que el $\nabla_{\gamma_1^{\prime}}^1\gamma_1^{\prime}=0$ y $\nabla_{\gamma_2^{\prime}}^2\gamma_1^{\prime}=0$. Por lo tanto, si $\gamma=(\gamma_1,\gamma_2)$, obtenemos $$\widetilde{\nabla}_{\gamma^{\prime}}\gamma^{\prime}=\nabla_{\gamma_1^{\prime}}^1\gamma_1^{\prime}+\nabla_{\gamma_2^{\prime}}^2\gamma_2^{\prime}=0.$de % $ % por tanto $\gamma$es una geodésica de $M\times N$.