¿Hay un equivalente de una base de una topología para una $\sigma$-algebra?

Question

Actualización post en Jan 9, 2012:

Dado un sigma álgebra $\mathcal{F}$ sobre un conjunto $X$, y una partición de $\mathcal{C}$$X$. Si estoy en lo correcto, entonces:

$\mathcal{C}$ es un generador de $\mathcal{F}$, si y sólo si cualquier subconjunto medible es una unión de algunos los miembros de $\mathcal{C}$.

Tal clase de subconjuntos (partición además de la parte después de "si y sólo si" caracteriza a la sigma álgebra es como una base para una topología. Me permite llamar la "base" de la sigma álgebra.

Me pregunto si alguno de sigma álgebra siempre tiene una "base"? Si un sigma álgebra tiene un número finito de subconjuntos medibles, entonces existe una "base". Si hay una "base", debe el sigma álgebra tiene un número finito de subconjuntos medibles?

Gracias y saludos!

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Post Original:

Una base de una topología se define como una colección de bloques abiertos de tal forma que cada conjunto abierto es una unión de algunos de ellos.

Me preguntaba si hay un concepto similar para un $\sigma$-álgebra? Mi pregunta surgió a partir de un aviso de que una clase de subconjuntos que forman una partición del universo parece como una "base" para el $\sigma$-álgebra que genera.

Realmente tengo curiosidad de saber si hay un concepto general para una clase de subconjuntos cerrados bajo algunos de operación(s).

Gracias y saludos!

Answer 1

Aquí están algunos ejemplos sencillos que son suficientes para responder a sus Jan 9, 2012 a las preguntas. Denotar por $\mathcal S(X)=\{\{x\};x\in X\}$ el conjunto de los embarazos únicos de un conjunto $X$.

El poder establecer $2^\mathbb Z=\{A;A\subseteq\mathbb Z\}$ $\mathbb Z$ es una sigma-álgebra en $\mathbb Z$ $\mathcal S(\mathbb Z)$ "base". Pero $2^\mathbb Z$ no es ni finito ni contables. De hecho, no hay tal cosa como un infinito contable sigma-álgebra.

El Borel sigma-álgebra $\mathcal B(\mathbb R)$ no tiene "base" desde cualquiera de sus bases deben contener cada singleton, por tanto, la base sólo podía ser $\mathcal S(\mathbb R)$, pero el subconjunto $\mathbb R_+$ $\mathcal B(\mathbb R)$ y no es ni contable ni co-contables.