Evaluar $\int_{0}^{\pi/4}\left(\cos 2x \right)^{11/2}\cdot \cos x\;dx$

Question

Evaluar la integral definida

$$I=\int_{0}^{\pi/4}(\cos 2x)^{11/2}\cdot \cos x\;dx$$

Mi intento:

$$I = \int \left(1-2\sin^2 x\right)^{11/2}\cdot \cos x\;dx$$

Ahora, sustituye $\sin x=t$ con $\cos x \,dx = dt$ :

$$I = \int (1-2t^2)^{11/2}\;dt$$

¿Cómo puedo completar la solución a partir de este punto?

Answer 1

Aplicando la sustitución $$s = \sqrt{2} \sin x, \qquad ds = \sqrt{2} \cos x \,dx$$ (que hasta una constante es la que usted sugiere), obtenemos $$\require{cancel} \int_0^{\pi / 4} (\cos 2x)^{11 / 2} \cos x \,dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^1 (1 - s^2)^{11 / 2} ds.$$

Utilizando la integración por partes, podemos reescribir la integral en $u$ en términos de una integral idéntica con un exponente menor: Para un exponente general $\alpha \neq 0$ , tomando $$u = (1 - s^2)^{\alpha}, \qquad dv = ds$$ da $$\color{#00af00}{\int} \underbrace{\color{#00af00}{(1 - s^2)^{\alpha}}}_u \underbrace{\color{#00af00}{ds}}_{dv} = \underbrace{(1 - 2s^2)^{\alpha}}_u \underbrace{s}_v - \int \underbrace{s}_v \cdot \underbrace{\alpha (1 - s^2)^{\alpha - 1} \cdot (-2s) \,ds}_{du}.$$ Una manipulación (poco inteligente) de la integral sobre la H.R. da como resultado $$\color{#00af00}{\int (1 - s^2)^{\alpha} ds} = s (1 - s^2)^{\alpha} - 2 \alpha \color{#00af00}{\int (1 - s^2)^{\alpha} ds} + 2 \alpha \int (1 - s^2)^{\alpha - 1} ds ,$$ y resolviendo nuestra integral se obtiene fórmula de reducción : $$\boxed{\color{#00af00}{\int (1 - s^2)^{\alpha} ds} = \frac{1}{2 \alpha + 1} s (1 - s^2)^{\alpha} + \frac{2 \alpha}{2 \alpha + 1} \int (1 - s^2)^{\alpha - 1} ds }.$$

Si empezamos con un semi-integro no integral $\frac{2 m - 1}{2}$ aplicando inductivamente esta fórmula $m$ da lugar a una expresión para la antiderivada en la que la única expresión integral que aparece es la conocida $$\int (1 - s^2)^{-1/2} ds = \arcsin s + C.$$ En nuestro caso, sin embargo, sólo necesitamos la integral definida dada, y nuestra expresión se simplifica de forma agradable cuando nos especializamos en nuestros límites: $$\int_0^1 (1 - s^2)^{\alpha} ds = \cancelto{0}{\left.\frac{1}{2 \alpha + 1} s (1 - s^2)^{\alpha}\right\vert_0^1} + \frac{2 \alpha}{2 \alpha + 1} \int_0^1 (1 - s^2)^{\alpha - 1} ds ,$$ o un poco más legible, $$\phantom{(\ast)} \qquad \int_0^1 (1 - s^2)^{\alpha} ds = \frac{2 \alpha}{2 \alpha + 1} \int_0^1 (1 - s^2)^{\alpha - 1} ds. \qquad (\ast)$$

Tomando $\alpha = \frac{11}{2}$ en $(\ast)$ da $$\int_0^1 (1 - s^2)^{11 / 2} dt = \frac{11}{12} \int_0^1 (1 - s^2)^{9 / 2} ds,$$ y la integral en el s.a. es simplemente la integral en el s.a. de la fórmula de reducción con $\alpha = \frac{9}{2}$ . Procediendo de forma inductiva se obtiene $$\int_0^1 (1 - s^2)^{11 / 2} dt = \frac{11}{12} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^1 (1 - s^2)^{-1 / 2} ds.$$ La integral sobre la H.R. es $$\int_0^1 (1 - s^2)^{-1 / 2} ds = \left.\arcsin s \right\vert_0^1 = \frac{\pi}{2} .$$ (Como alternativa, deteniéndose un paso antes se obtiene la integral $\int_0^{1} \sqrt{1 - s^2} \,ds$ pero esto es sólo una cuarta parte del área de un círculo unitario, o $\frac{\pi}{4}$ .) Ahora, juntando todo (y recordando el factor de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ introducido por un cambio de variable a $s$ ) da $$\color{#df0000}{\boxed{\int_0^{\pi / 4} (\cos 2x)^{11 / 2} \cos x \,dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{231 \pi}{2048 \sqrt{2}}}}.$$

Nota: Un argumento de inducción en la misma línea da el resultado general $$\int_0^1 (1 - s^2)^{(2m - 1) / 2} ds = \frac{1}{4^m}{{2m}\choose{m}} \cdot \frac{\pi}{2} .$$

Es interesante, $$\frac{1}{4^m}{{2m}\choose{m}}$$ es a la vez

1. el coeficiente de $r^m$ en la serie Maclaurin para $\frac{1}{\sqrt{1 - r^2}}$ ,
2. la probabilidad de obtener cara exactamente la mitad de las veces al lanzar una moneda $2 m$ tiempos,

cualquiera de los cuales puede indicar una forma más sencilla de manejar esta familia de integrales.

Answer 2

Utilizar integraciones sucesivas por partes. Aquí está la primera:

$$\int (1-2t^2)^{11/2} dt=t(1-2t^2)^{11/2}-\int \frac{11}{2}t (-4t)(1-2t^2)^{9/2}dt$$ $$=t(1-2t^2)^{11/2}-11\int (1-2t^2-1)(1-2t^2)^{9/2}dt$$ $$=t(1-2t^2)^{11/2}-11\int (1-2t^2)^{11/2}dt+11\int (1-2t^2)^{9/2}dt$$

Por lo tanto,

$$12\int (1-2t^2)^{11/2} dt=t(1-2t^2)^{11/2}+11\int (1-2t^2)^{9/2}dt$$

Cuando has bajado el exponente lo suficiente, es fácil.

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Las siguientes integraciones dan como resultado

$$\int (1-2t^2)^{11/2} dt=\frac{1}{12}t(1-2t^2)^{11/2}+\frac{11}{12}\int (1-2t^2)^{9/2}dt$$

$$\int (1-2t^2)^{9/2} dt=\frac{1}{10}t(1-2t^2)^{9/2}+\frac{9}{10}\int (1-2t^2)^{7/2}dt$$

$$\int (1-2t^2)^{7/2} dt=\frac{1}{8}t(1-2t^2)^{7/2}+\frac{7}{8}\int (1-2t^2)^{5/2}dt$$

$$\int (1-2t^2)^{5/2} dt=\frac{1}{6}t(1-2t^2)^{5/2}+\frac{5}{6}\int (1-2t^2)^{3/2}dt$$

$$\int (1-2t^2)^{3/2} dt=\frac{1}{4}t(1-2t^2)^{3/2}+\frac{3}{4}\int (1-2t^2)^{1/2}dt$$

$$\int (1-2t^2)^{1/2} dt=\frac{1}{2}t(1-2t^2)^{1/2}+\frac{1}{2}\int (1-2t^2)^{-1/2}dt$$

El último es

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-2t^2}}dt=\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin (\sqrt2 t)+C$$

Por último, modulo errores de escritura

$$\int (1-2t^2)^{11/2} dt= \frac{1}{12}t(1-2t^2)^{11/2} +\frac{11\cdot1}{12\cdot10}t(1-2t^2)^{9/2} +\frac{11\cdot9\cdot1}{12\cdot10\cdot8}t(1-2t^2)^{7/2} +\frac{11\cdot9\cdot7\cdot1}{12\cdot10\cdot8\cdot6}t(1-2t^2)^{5/2} +\frac{11\cdot9\cdot7\cdot5\cdot1}{12\cdot10\cdot8\cdot6\cdot4}t(1-2t^2)^{3/2} +\frac{11\cdot9\cdot7\cdot5\cdot3\cdot1}{12\cdot10\cdot8\cdot6\cdot4\cdot2}t(1-2t^2)^{1/2} +\frac{11\cdot9\cdot7\cdot5\cdot3\cdot1}{12\cdot10\cdot8\cdot6\cdot4\cdot2}\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin (\sqrt2 t)+C$$

Answer 3

De hecho, este enfoque de funciones especiales puede generalizarse.

Set $$j(s)=\int_0^{\pi/4}\cos(2x)^s\cos(x)dx.$$ Utilice $t=2\sin(x)^2$ para que $dt=4\sin(x)\cos(x)dx$ es decir $\cos(x)dx=(2t)^{-1/2}dt$ . Por lo tanto, tenemos $$j(s)=\frac1{\sqrt2}\int_0^1t^{1/2-1}(1-t)^{s+1-1}dt=\sqrt{\frac\pi2}\frac{\Gamma(s+1)}{\Gamma(s+\frac32)},$$ como $$\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ y $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$ .

Answer 4

He aquí un método eficaz que utiliza funciones especiales.

Aplicando la sustitución $$t = 2 \sin^2 x, \qquad ds = 4 \sin x \cos x \,dx$$ da $$\int_0^{\pi / 4} (\cos 2x)^{(2 m - 1) / 2} \cos x \,dx = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int_0^1 t^{-1/2} (1 - t)^{(2 m - 1) / 2} dt .$$ Por la definición de y entonces una identidad estándar para el Función beta $\textrm{B}$ , $$\int_0^1 t^{-1/2} (1 - t)^{(2 m - 1) / 2} dt = \textrm{B} \left(\tfrac{1}{2}, m + \tfrac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(\tfrac{1}{2}) \Gamma(m + \frac{1}{2})}{\Gamma(m + 1)} .$$ donde $\Gamma$ es el Función gamma pero podemos manejar fácilmente los tres factores $\Gamma(\,\cdot\,)$ :

• Por definición, $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{\infty} q^{-1/2} e^{-q} \,dq ,$ y la sustitución $q = r^2, dq = 2 r \, dr$ da (por simetría, la mitad de) un Integral gaussiana , dando como resultado $$\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} .$$
• Aplicar la identidad $\Gamma(z) = z \Gamma(z - 1)$ un total de $m$ tiempos da $$\Gamma\left(m + \tfrac{1}{2}\right) = \frac{(2 m)!}{4^m m!} \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{(2 m)!}{4^m m!} \sqrt\pi .$$
• Desde $m$ es un número entero, $\Gamma(m + 1) = m !$ .

Ensamblando estas piezas (y recordando el factor de $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ en la segunda ecuación de la pantalla) da $$\int_0^{\pi / 4} (\cos 2x)^{(2 m - 1) / 2} \cos x \,dx = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \frac{\left(\sqrt\pi\right)\left(\tfrac{(2 m)!}{4^m m!} \sqrt\pi\right)}{m!} = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{4^m} {{2 m} \choose m} .$$

En nuestro caso, $\frac{2 m - 1}{2} = \frac{11}{2}$ Así que $m = 6$ y $$\color{#bf0000}{\boxed{\int_0^{\pi / 4} (\cos 2x)^{11 / 2} \cos x \,dx = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{4^6} {{12} \choose 6} = \frac{231 \pi}{2048 \sqrt{2}}}}.$$

Answer 5

Yo sugeriría un cambio de variables diferente -

Dejemos que $t=\cos(2x)$ Así que $dt=-4\cos(x)\sin(x)dx$ y tenemos $I=\int_0^{1} t^{11/2}\cdot (dt/4\sin(x))dt$

desde $t=\cos(2x)=1-2\sin(x)^2$ tenemos $\sin(x)=\sqrt{(1-t)/2}$ y la integral se reduce a:

$I=(\sqrt2/4)\int_0^{1} t^{11/2}(1-t)^{-1/2}dt$ que en mi opinión es más fácil con la integración por partes, comparando con la integral que ya tienes.