Escribe $\mathbb{P}^3_{\mathbb{C}}$ como una unión de líneas disjuntas

Question

¿Existe un conjunto $\Gamma=\{L \subseteq \mathbb{P}^3_{\mathbb{C}}: L \textrm{ is a projective line}\}$ tal que cada punto $p \in \mathbb{P}^3_{\mathbb{C}}$ se encuentra exactamente en una línea $L_p \in \Gamma$ ?

Sé que esto es posible para los números reales, así que me pregunto si también es correcto para los números complejos.

Answer 1

Después de pensar un poco más, encontré la respuesta por mí mismo. Perdón por hacer esta pregunta demasiado pronto. La respuesta es sí: dejemos $H$ sea el anillo de división de los cuaterniones. Entonces $H^2$ es una dimensión de cuatro $\mathbb{C}$ -espacio vectorial. Para cada punto $0 \neq p=(p_1,p_2) \in H^2$ considere $L_p=\{(z \cdot p_1, z \cdot p_2) \in H^2: \, z \in H\}$ . Es sencillo comprobar que el $L_p$ son $\mathbb{C}$ -subespacios lineales de dimensión dos y $L_p \cap L_q \neq 0$ implica $L_p=L_q$ .