Conjugacy clases de no-Abelian grupo de orden $p^3$

Question

Deje $G$ ser un no-grupo abelian de orden $p^3$. Cuántos son sus clases conjugacy?

Las clases conjugacy son las órbitas de $G$ bajo la conjugación de $G$ por sí mismo. Desde $G$ no es abelian, su centro ha pedido $p$. Por lo que la clase ecuación rendimientos $p^3 = p + \sum_{[x]} (G: G_x)$ donde $G_x$ es el centralizador de $x$ y la suma se toma sobre la desunión de las órbitas $[x]$. También podemos ver que $(G:G_x)$ sólo puede ser $p$ o $p^2$. Así que vamos a tener $p$ órbitas de longitud $1$ y, a continuación, las órbitas de longitud $p$$p^2$. Consejos sobre la determinación de la número de la última?

Answer 1

Sabemos que $Z(G) = p$. Supongamos $[G:G_x] = p^2$ algunos $x \notin Z(G)$. A continuación, $G_x$ $p$ elementos, y desde $Z(G) \subseteq G_x$,$Z(G) = G_x$. Ahora desde $x$$G_x$, también es en $Z(G)$. De esto se sigue que $G_x = G$, y por lo tanto $Z(G) = G$, una contradicción. Por lo tanto $[G:G_x] = p$ todos los $x \notin Z(G)$, mostrando que el $G$ $p^2 + p - 1$ clases conjugacy.

Answer 2

Supongamos $g$ es un noncentral elemento. A continuación, el centralizador de $g$ contiene el centro de $G$, y también contiene $g$ sí, dándole al menos $p+1$ elementos. Así, el centralizador tiene orden de $p^2$, lo $g$ $p$ conjugados. Hay, pues, $p+\frac{p^3-p}{p}=p^2+p-1$ clases conjugacy.

Answer 3

El centraliser de un no-elemento central contiene al menos $p+1$ elementos, ya que contiene el centro, con el fin de $p$. No se puede tener un orden igual a $p^3$, o el elemento podría ser central. Por lo tanto, el orden de la centraliser o no un elemento central es igual a $p^2$, y por lo tanto el índice es igual a $p$, es decir, que la ha $p$ conjugados. Por lo tanto, no se $\frac{p^3 - p}{p} = p^2 - 1$ conjugacy clases de no-elementos centrales, dando un total de $p^2 + p - 1$ clases conjugacy.

Answer 4

Uno puede dividir en 3 pasos. En primer lugar, mostrar que $|Z(G)|$ es igual a p. En segundo lugar, muestra que si $a$ no $Z(G)$$|N_G(a)|=p^2$. Finalmente, el último paso es utilizar la clase ecuación para mostrar que no se $p^2+p-1$ clases conjugacy.