$A^{-1}$ ha entero de entradas, si y sólo si el ${\rm det}\ (A) =\pm 1$

Question

Por eso, $A$ es una matriz de nxn con el entero entried. La pregunta es para probar que $A^{-1}$ tiene todo entero entradas, si y sólo si ${\rm det}\ (A) =\pm 1$

Sé que $A^{-1}= {\rm adj}(A)/{\rm det}(A)$ pero no tengo idea de a dónde ir desde allí a la dirección de avance. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Para el hacia atrás, creo que estoy bien. He conectado el 1 y el -1 opciones en $ {\rm adj}(A)/{\rm det}(A)$ Así, sé que $A^{-1}= {\rm adj}(A)$ o $-{\rm adj}(A)$. Entonces me dijo que debido a que el ${\rm adj}(A)$ es simplemente la matriz de co-factores de $A$, y debido a $A$ tiene todo entero entradas, a continuación, ${\rm adj}(A)$ tendrá todo entero entradas, lo que significa que $A^{-1}$ tendrá todo entero entradas. Es que está bien? O me estoy perdiendo algo?

Gracias!!`

Answer 1

La dirección que has hecho es correcto para una t y es exactamente como yo lo haría. Como en el otro sentido, usted podría estar tentado a probar a la inversa de su argumento, pero que definitivamente no va a ir a tu manera. He aquí una sugerencia: suponga que $A^{-1}$ ha entero entradas, entonces sabemos que

$$\det(A^{-1}A) = \det(I) = 1$$

pero también tenemos que $\det(A^{-1}A) = \det(A^{-1})\det(A)$. Se puede tomar desde aquí?