¿Cómo podemos encontrar geodesics en una hoja de hyperboloid?

Question

Estoy mirando el siguiente ejercicio:

Describir cuatro diferentes geodesics en el hyperboloid de una hoja $$x^2+y^2-z^2=1$$ passing through the point $(1, 0, 0)$.

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Tenemos que una curva de $\gamma$ sobre una superficie $S$ se llama una geodésica si $\ddot\gamma(t)$ es cero o perpendicular al plano tangente a la superficie en el punto de $\gamma (t)$, es decir, paralela a su unidad normal, para todos los valores del parámetro $t$.

Equivalentemente, $\gamma$ es una geodésica si y sólo si su vector tangente $\dot\gamma$ es paralelo a lo largo de $\gamma$.

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Me podrían dar algunos consejos de cómo podemos encontrar en este caso el geodesics?

Answer 1

En primer lugar, mira algunas imágenes de hyperboloids, para obtener una idea de su forma y simetría.

Hay dos formas de pensar de su hyperboloid. En primer lugar, es una superficie de revolución. Puede que se forman por el dibujo de la hipérbola $x^2 - z^2 = 1$ en el avión $y=0$, y, a continuación, girar esta alrededor de la $z$-eje.

Otra forma de obtener su hipérbola es como un "gobernado" de la superficie. Tomar dos círculos de radio $\sqrt2$. Un círculo, $C_1$, se encuentra en el plano de la $z=1$ y tiene centro en el punto de $(0,0,1)$. El otro, $C_2$, se encuentra en el plano de la $z=-1$ y tiene centro en el punto de $(0,0,-1)$. Como se puede ver, $C_1$ se encuentra en posición vertical sobre el $C_2$. Sus ecuaciones paramétricas son: \begin{align} C_1(\theta) &= (\sqrt2\cos\theta, \sqrt2\sin\theta, 1) \\ C_2(\theta) &= (\sqrt2\cos\theta, \sqrt2\sin\theta, -1) \end{align} Para cada una de las $\theta$, dibujar una línea de$C_1(\theta)$$C_2(\theta + \tfrac{\pi}{2})$. Esto le da a la familia de líneas azules que se muestra en la imagen de abajo. Del mismo modo, usted puede obtener las líneas rojas por unirse a $C_1(\theta)$ $C_2(\theta - \tfrac{\pi}{2})$ por cada theta:

Para identificar geodesics, vamos a utilizar dos hechos que son bastante conocidos (que se puede encontrar en muchos libros de texto):

Hecho #1: Cualquier línea recta acostado en una superficie es una geodésica. Esto es debido a que su arclength parametrización tendrá cero de la segunda derivada.

Hecho #2: Cualquier sección normal de una superficie es una geodésica. Una sección normal es una curva producida por la división de la superficie con un plano que contiene la normal de la superficie en cada punto de la curva. El ejemplo más común de una sección normal es una sección formada por un plano de simetría. Así, la intersección con un plano de simetría es siempre una geodésica.

Hay infinitamente muchos geodesics de pasar por el punto de $(1,0,0)$. Pero, con la ayuda de nuestros dos hechos, podemos identificar cuatro de ellos que son bastante simples. Son las curvas G1, G2, G3, G4 se muestra en la imagen a continuación:

1. G1: el círculo de $x^2+y^2 =1$ acostado en el avión $z=0$. Esta es una geodésica por Hecho #2, desde que el avión $z=0$ es un plano de simetría. En cada punto a lo largo de la curva de G1, la curva de la directora de la normal debe ser paralela a la normal de la superficie en el punto, por la simetría. Si este geométricas argumento no es convincente, podemos confirmar por los cálculos. En cualquier punto de $P=(x,y,0)$ en G1, la normal de la superficie y la curva del director de la normalidad, tanto en la dirección $(x,y,0)$. Esto se ilustra en la siguiente imagen:

2. G2: la hipérbola $x^2 - z^2 = 1$ acostado en el avión $y=0$. De nuevo, esto es una geodésica por Hecho #2, desde que el avión $y=0$ es un plano de simetría.

3. G3: la línea a través de los puntos de $(1,-1,1)$$(1, 1, -1)$. Esta es una de las líneas azules mencionado en la discusión de las superficies regladas por encima. De hecho, sus dos definiendo los puntos se $(1,-1,1) = C_1\big(-\tfrac{\pi}{4}\big)$$(1,1,-1) = C_2\big(\tfrac{\pi}{4}\big)$. Se ha ecuación paramétrica $$ G_3(t) = \big(x(t),y(t),z(t)\big) = (1,t,-t) $$ Para comprobar que el $G_3$ se encuentra en la superficie, se observa que $$ x(t)^2 + y(t)^2 -z(t)^2 = 1 +t^2-c^2 = 1 \quad \text{para todo } t $$ Es una geodésica por Hecho #1.

4. G4: la línea a través de los puntos de $(1,-1,-1)$$(1, 1, 1)$. El razonamiento es el mismo que para el G3.

Answer 2

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que nuestra superficie es una superficie de revolución, lo que nos sitúa en un contexto general, vamos a $S$ una superficie de revolución con la parametrización de la $X\left(u,v\right)=\left(f\left(u\right)\cos \left(v\right),f\left(u\right)\sin \left(v\right),g\left(u\right)\right)$.

Deje $\gamma$ a una curva en $S$, esto es, $\gamma \left(t\right)=X\left(u\left(t\right),v\left(t\right)\right)$. Es fácil ver que la derivada covariante puede ser expresado como: \begin{eqnarray*} \frac{D\gamma'}{dt} & = & \left(u''+\Gamma_{11}^{1}\left(u'\right)^{2}+2\Gamma_{12}^{1}u'v'+\Gamma_{22}^{1}\left(v'\right)^{2}\right)X_{u}\\ & & +\left(v''+\Gamma_{11}^{2}\left(u'\right)^{2}+2\Gamma_{12}^{2}u'v'+\Gamma_{22}^{2}\left(v'\right)^{2}\right)X_{v}. \end{eqnarray*}

Donde $\Gamma ^{k} _{ij}$ $i,j,k=1,2$ son los símbolos de christoffel de $S$.

Así que, para que $\gamma$ será una geodésica debemos tener ese $\frac{D\gamma '}{dt}=0$, luego tenemos el sistema: $\tag 1 \begin{eqnarray*} u''+\Gamma_{11}^{1}\left(u'\right)^{2}+2\Gamma_{12}^{1}u'v'+\Gamma_{22}^{1}\left(v'\right)^{2} & = & 0\\ v''+\Gamma_{11}^{2}\left(u'\right)^{2}+2\Gamma_{12}^{2}u'v'+\Gamma_{22}^{2}\left(v'\right)^{2} & = & 0. \end{eqnarray*}$

Por otro lado, los símbolos de Christoffel de $S$ son:

\begin{eqnarray*} \Gamma_{11}^{1}=0,\quad & \Gamma_{11}^{2}=-\frac{ff'}{\left(f'\right)^{2}+\left(g'\right)^{2}},\quad & \Gamma_{12}^{1}=\frac{ff'}{f^{2}}, \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \Gamma_{12}^{2}=0,\quad & \Gamma_{22}^{1}=0,\quad & \Gamma_{22}^{2}=\frac{f'f''+g'g''}{\left(f^{'}\right)^{2}+\left(g'\right)^{2}}. \end{eqnarray*}

Con los valores anteriores, el sistema (1) se convierte en

$$ \tag 2 \begin{array}{rrr} u''+\frac{2ff'}{f^{2}}u'v' & = & 0 \\ v''-\frac{ff'}{\left(f'\right)^{2}+\left(g'\right)^{2}}\left(u'\right)^{2} +\frac{f'f''+g'g''}{\left(f^{'}\right)^{2}+\left(g'\right)^{2}}\left(v'\right)^{2}&= & 0 \\ \end{array}$$

En el caso de la sábana hyperboloid tenemos $f\left(u\right)=\sqrt{1+u^{2}}$$g\left(u\right)=u$. Entonces, el sistema (2) se convierten

$$ \begin{array}{rrr} u''+\frac{2u u'v'}{u^{2}+1} & = & 0 \\ v''-\frac{u\left(u^{2}+1\right)}{u^{2}+u+1}\left(u'\right)^{2} +\frac{u}{\left(u^{2}+1\right)\left(u^2+u+1\right)}\left(v'\right)^{2}&= & 0 \\ \end{array}$$ El geodesics se encuentran resolviendo el sistema anterior.

Answer 3

Sugerencia Para dos geodesics, considerar los planos $\Pi$ de la simetría de la hyperboloid $H$ a través de $(1,0,0)$, y el uso de la simetría y la singularidad de geodesics para argumentar que las curvas de $\Pi \cap H$ debe ser geodésica. Para los otros dos, uno puede utilizar la hyperboloid de una hoja es doblemente falló.

Sugerencia adicional Para los dos primeros, considere la posibilidad de una geodésica $\gamma$ a través de $(1, 0, 0)$ tangente a $\Pi \cap H$ en ese punto. Por simetría, la reflexión de $\gamma$ a través de $\Pi$, se $\widetilde{\gamma}$, es geodésica y tiene el mismo vector tangente a $(1, 0, 0)$$\gamma$. Así que, por la singularidad de geodesics, $\widetilde{\gamma} = \gamma$, y, en particular, $\gamma$ es fijado por la reflexión y así está contenida dentro de $\Pi \cap H$. Para los dos, ya que $H$ es doblemente dictaminó hay dos líneas rectas a través de$(1, 0, 0)$$H$. En particular, la constante de velocidad de las parametrizaciones de estas líneas tiene la aceleración de cero, y por lo tanto tienen cero aceleración normal (considerada como curvas en $H$), por lo que son geodesics.

Answer 4

Hay infinitamente muchos geodesics en él en cada dirección. El meridiano, la circunferencia del cuello ( radio mínimo), dos dictaminó línea recta asíntotas son las 4 principales geodesics que se refiere.

Sus curvaturas normales de seguir la ley de Euler

$$ k_n = k_1 \cos^2 \alpha + k_2 \sin ^2 \alpha \tag{1} $$

respectivamente de 180 grados de rotación de las cuatro $k_n's $ mínimo 0,máximo,0.. que repita la siguiente manera en $0, 30, 90, 150, 180 ...$ grados de curvatura de la relación de

$$ \frac{k_1}{k_2} = - \frac{3}{1} \tag{2}$$

como se muestra para el 4 importante geodesics :

EDIT 1:

Como es una tabla de surf de la revolución diferencial geométrica de los métodos de llevar a la Clairaut de la ley.

$$ r \sin \alpha = C \tag{3} $$

Después de un estudio de la segunda forma fundamental de la supercie de la teoría se aprecia que el anterior, dice la misma cosa para la curvatura geodésica (en el plano tangencial)

$$ k_g = 0. \tag{4} $$

Para las líneas (principal) de la curvatura de la $ k_g=0, k_n =$ mínimo o máximo,

y por la inclinación de las líneas que ocurren entre ellos" $ k_g=0, k_n = 0. $

El geodesics son el meridiano, un par de líneas rectas,central de la latitud del círculo de $$(x^2-z^2=1,y=0),(x \pm z=1,y=1),(x ^2+y^2=1).$$

EDIT2:

Para conseguir un $ r- \theta $ relación para cualquier ángulo de inicio, combinar pendiente y Clairaut la ley de relaciones (3), a=1, en:

$$ r^2 - z^2 = a^2 ; \tan \phi = \sqrt { (r/a)^2 -1} ; dr/ \sin \phi = r d\theta \cot \psi; \tag{5}$$ y simplificar.

$$ r= r_o \sin \alpha \tag{6} $$

para cualquier geodésica ángulo de inicio $\alpha$ elegido ( no necesita estar entre los cuatro. )

$$ (dr/d \theta)^2 = r^2 ( r^2/r_o^2-1) ((r/a)^2-1)/(2(r/a)^2-1) \tag{7} $$

Las integrales elípticas pueden ser utilizados para la forma cerrada, pero más rápido para integrar numéricamente y en la trama.

La naturaleza de geodesics

EDIT 3:

de WolframAlpha

Geodesics en Hyperboloids

de mí

Es útil mencionar aquí tres tipos de geodésica de comportamiento en torno a un punto hiperbólico, lo podemos ver perfectamente en la easier_to_handle superficies de revolución:

$ r_o < a $. Como se ha dado ya en el croquis de la línea geodésica se dispara a través de un cuerno a otro.

$ r_o = a $. La geodésica da vueltas y vueltas pero nunca llega a $ r = a $ que es una asíntota.

$ r_o > a $. La geodésica U-vueltas delante de $ r = r_o$ . En el devanado de Filamentos de práctica se llama un cambio de tendencia. Las imágenes de Google con este nombre si desea intuición para que coincida con la formulación matemática.

El cable rojo se muestra el comportamiento de regresar geodésica por delante del cuello de un taburete de bambú, un ejemplo particularmente bueno de nuestra superficie con su recta dictaminó asintótica dictaminó generadores.

[ Por favor ignore este párrafo por el tiempo que es... Un plano paralelo a su eje, y el corte exactamente en el círculo de min radio produce las asíntotas. Se puede confundir en el principio de que son geodesics, asíntotas y resoluciones de la superficie reglada todos al mismo tiempo].