Supongamos que $f : X \to Y$ es un plano de morfismos de esquemas. Es $f_\text{red} : X_\text{red} \to Y_\text{red}$ necesariamente plana? Hay hipótesis que garantiza esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No !
El resultado no es cierto: puede suceder que $f : X \to Y$ es un plano de morfismos pero que $f_\text{red} : X_\text{red} \to Y_\text{red}$ no es plana.
Un contraejemplo
Considere la posibilidad de $\mathbb A^3$ con coordenadas $x,y,z$ $X\mathbb \subset \mathbb A^3$ tomar la curva definida por las ecuaciones $4y^3+27z^2=0,x^3+yx+z=0$ .
Para $Y$ de los subscheme de $\mathbb A^2$ con coordenadas $y,z$ definido por la ecuación $4y^3+27z^2=0$.
Note cuidadosamente que $Y$ ya es reducido, pero que $X$ no lo es.
Y finalmente, para $f:X\to Y$ la proyección de $(x,y,z)\mapsto (y,z)$.
Ahora, $f$ es plana debido a que es finito y todos sus fibras tienen la longitud $3$ .
Sin embargo $f_\text {red}:X_\text {red}\to Y_\text {red}=Y$ es no plana debido a que sus fibras tienen la longitud $2$ por encima de todas las fibras, excepto la fibra a $(0,0)\in Y$ que es de longitud $3$.
Atribución
Este ejemplo se debe a finales de la década de Adrien Douady, el maestro de contraejemplos , de acuerdo a la Erge Fischer en su excelente libro, Compleja Geometría Analítica, página 151.
Sin embargo, no pude encontrar la fuente original.
Esto no es sorprendente: fui testigo de varios episodios en los que Douady sorprendió a la audiencia compuesta por algunos de los mejores complejos de los analistas en el mundo (en Oberwolfach, por ejemplo) con contraejemplos que él encontró en el lugar con la velocidad del rayo.
Supongo que, por desgracia, la mayoría de estos contraejemplos no quedó registrado.
Aprecio
Esta es una muy buena pregunta, al parecer, no se abordan en los libros acerca de la geometría algebraica, ni siquiera aparentemente (pero se me puede haber pasado por alto algo) en EGA ni Pilas Proyecto.
