Número de rotación de la inversa de mapas en el círculo.

Question

Todavía estoy un poco perdido en mis estudios de la rotación de los números. Cualquier ayuda se agradece mucho!

Digamos que tenemos una homeomorphism $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que es un ascensor de un homeomorphism $f:S^1 \rightarrow S^1$ del círculo. La homeo $f$ se asume que la orientación de la preservación, es decir, $F(x+1) = F(x) +1$ todos los $x \in \mathbb{R}$.

El número de rotación $$ \rho(F,x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{F^n(x) - x}{n} $$ existe para cada $x \in \mathbb{R}$ y es constante, es decir, $\rho(F,x) = \rho(F,y)$ todos los $x,y \in \mathbb{R}$. Deje $F^{-1}$ ser la inversa de a $F$. Sé que $\rho(F^{-1},x)$ también existe para cada $x \in \mathbb{R}$. Lo que quiero mostrar ahora es que $$ \rho(F,x) + \rho(F^{-1},x) = 0 \quad\text{para todo } x \in \mathbb{R}. $$ De alguna manera todavía estoy atascado. Lo que he conseguido hasta ahora, es que para calcular $$ \frac{F^n(x) - x}{n} = -\frac{x - F^n(x)}{n} = -\frac{F^{-n} \circ F^n(x) - F^n(x)}{n}. $$ Esto casi parece una solución para mí, ya que si puedo demostrar que si el lado derecho $\frac{F^{-n} \circ F^n(x) - F^n(x)}{n}$ converge a$\rho(F^{-1},x)$$n \rightarrow \infty$, estoy hecho. Ya sé que este término es convergente debido a que el lado izquierdo es convergente. Yo también ahora que para todos los fijos $k \in \mathbb{N}$ el plazo $$ \frac{F^{-n} \circ F^k(x) - F^k(x)}{n} \quad\text{converge a } \rho(F^{-1}) \text{ para } n \rightarrow \infty. $$

Meh, estoy perdido. Lo siento si es una pregunta estúpida.

Answer 1

Lema: Si $f,g:S^1\to S^1$ son las dos de la orientación de la preservación de homeomorphisms y $f\circ g=g\circ f$, $\rho(f\circ g)=\rho(f)+ \rho(g) (\mod 1)$ (Este es un ejercicio de Barreira, & Valls Sistemas Dinámicos: una Introducción, pág. 84).

La prueba del Lema: Desde $f,g$ son de la orientación de la preservación, hay ascensores $F,G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:F \uparrow,G\uparrow$$f,g$, respectivamente. Desde $f,g$ conmutan, por lo $F,G$: Vamos a $\pi:\mathbb{R}\to S^1$ ser la proyección. A continuación,$F\circ G=\pi^{-1}\circ f\circ \pi \circ \pi^{-1} \circ g\circ \pi=\pi^{-1} \circ f\circ g \circ \pi=\pi^{-1}\circ g\circ f\circ \pi=G\circ F$.

$F\circ G$ es un ascensor de $f\circ g$ y va en aumento. Por lo tanto $\rho(F\circ G)$ está definido. A continuación, $\rho(F\circ G)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(F\circ G)^n(x)-x}{n}= \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{F^n(G^n(x))-G^n(x)}{n}+\dfrac{G^n(x)-x}{n}\right)= \rho(F)+\rho(G)$ desde el utilizado límites existen independientemente de $x\in\mathbb{R}$. También tenga en cuenta que en la segunda igualdad hemos de utilizar el hecho de que $F,G$ viaje.

Finalmente, dado que, por definición,$\rho(f)=\pi(\rho(F))$, modding, la adquisición de la igualdad por $1$, que se hacen (es cierto que no vamos a utilizar la forma completa de la lema, pero pensé que debería registro completo de referencia en el futuro.).

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Volviendo a tu pregunta, tenemos una orientación preservación de la homeomorphism $f:S^1\to S^1$. Deje $F$ ser un aumento de la elevación de $f$. Luego tenemos a $f\circ f^{-1}=1_{S^1}=f^{-1}\circ f$ $1_{\mathbb{R}}$ es un ascensor de $1_{S^1}$. Como $f$ y su inversa viaje, podemos emplear el lema anterior. Tomando nota de que $\rho(1_{\mathbb{R}})=0$, como (de nuevo) el límite en la definición del número de rotación es independiente de $x$, el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Intuitivamente, $F$ es un homeomorphism lo $F^{-1}$ debe existir y debe "girar" en la dirección opuesta a la de $F$.

Puede mostrar $\rho(G \circ F,x) = \rho(F,x) + \rho(G, F(x)) $ ?

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Tal vez más fácil, vamos a $y_n = F^{-n}(x)$ desde $F$ es un homeomorphism sólo hay un punto como este:

$$ \frac{ F^{-n}(x) - x} {n} = \frac{ y_n - F^n(y_n)}{n} \to \rho(F, y_n)$$

Desafortunadamente, usted no sabe mucho acerca de, excepto, posiblemente,: $y_n \approx x - n \rho(F^{-1}, x)$.

Tal vez usted puede conseguir convergencia uniforme a $\rho(F, \cdot)$ desde $S^1$ es compacto?