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Question

Yo estaba leyendo en Vakil los Fundamentos de la Geometría Algebraica que puede uno imaginarse el tradicional "puntos" de la Especificación($\mathbb{C}[x_1,\dotsc,x_n]/(f_1,\dotsc,f_r))$ como el cero, el locus de los polinomios $f_1,\dotsc,f_r$. (Esto es temprano en el libro, y creo que él se está refiriendo a la máxima ideales como los tradicionales puntos.) Como él dice, esto es debido a que el primer ideales de un cociente $A/I$ natural bijection con los primos de $A$ contiene $I$.

Puedo ver parcialmente por qué esto es cierto. Si un ideal maximal $(x_1-a_1,\dotsc,x_n-a_n)$ contiene $(f_1,\dotsc,f_r)$, entonces para cada a $i$, podemos escribir $f_i=g_{i1}(x_1-a_1)+\dotsb g_{in}(x_n-a_n)$, de modo que, de hecho, $f_i(a_1,\dotsc,a_n)=0$ todos los $i$. Sin embargo, no estoy de inmediato a ver por qué se produce el fenómeno contrario. Es decir, ¿cómo se $f_i$ de fuga en $(a_1,\dotsc,a_n)$ todos los $i$ nos dan ese $(x_1-a_1,\dotsc,x_n-a_n) \supset (f_1,\dotsc,f_r)$?

Edit: a la luz de los comentarios de abajo, tenemos $(f_1,\dotsc,f_r)\subseteq (x_1-b_1,\dotsc,x_n-b_n)$ algunos $b_1,\dotsc,b_n\in \mathbb{C}$, utilizando el hecho de que cada ideal que está contenido en un ideal maximal y que los maximals ideales que forman, por Nullstellensatz. Pero entonces tenemos que $(f_1,\dotsc,f_r)$ desaparece en tanto $(a_1,\dotsc,a_n)$$(b_1,\dotsc,b_n)$. Lo que nos permite concluir que $a_i=b_i$ todos los $i$?

Answer 1

Supongamos $f(x_1,\ldots, x_n)$ se desvanece en $(a_1,\ldots, a_n).$ Deje $I=(x_1- a_1, \ldots, x_n - a_n) .$ $$f(x_1,\ldots, x_n) + I = f(a_1, \ldots, a_n)+ I =0+I$ $

Por lo $f(x_1,\ldots, x_n) \in I.$

Answer 2

Esta es una consecuencia inmediata de la Nullstellensatz.

Answer 3

Piense acerca de los morfismos de $\mathbf C$-álgebras $$ \mathbf{C}[x_1,\dots,x_n] \a \mathbf{C},\quad \text{tales que }x_i \mapsto a_i. $$ El núcleo es precisamente el ideal generado por el $x_i-a_i$. Tengo que admitir que uno debe comprobar esto, pero si usted cree que el ideal es máxima, no hay mucho más trabajo.

Otra forma es observar que un polinomio tiene una "expansión de Taylor centrado en $(a_1,\dots,a_n)$, puesto que el $x_i-a_i$ servir como indeterminates $\mathbf{C}$ igual de bien como hacer la $x_i$. Ahora la pregunta es si hay un término constante en esta expansión.

De la edición: por supuesto que los polinomios puede tener más de un punto común a cero!!! No creo que invalida nada de lo que hemos hecho.