Encontrar el menor entero positivo $n$ tal que $2n \choose n$ es divisible por todos los números primos entre $10$$30$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Legendre el Criterio de los estados que $v_p(n)=\dfrac{n-s_p(n)}{p-1}$ donde $s_p(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ escrito en base a $p$. Demostrar esto es sólo el álgebra después de escribir $n$ base $p$.
La aplicación de este, nos damos cuenta de que simplemente necesite $2s_p(n)>s_p(2n)$ para todos estos números primos. Si no entramos en las plazas de estos primos, esto significa que $\lfloor \dfrac{2n}{p}\rfloor$ tiene que ser impar. No parece ser una buena manera de comprobar esto, sin embargo, vamos a utilizar la fuerza bruta:
Para $p=29$ necesitamos $n\ge 15\ge 11$, así que necesitamos de otro poder de la $11$ en la parte superior, dando a $2n\ge 33\Rightarrow n\ge 17$. Esto significa que necesitamos de otro poder de la $17$ en la parte superior, dando a $2n\ge 51\Rightarrow n\ge 26$. Por lo tanto necesitamos otro poder de la $23$ (e $29$ del curso), de este modo nos con $2n\ge 87\Rightarrow n\ge 44$. Entonces necesitamos otro poder de $11$ así obtenemos $2n\ge 100\Rightarrow n\ge 50$, que desafortunadamente no para $p=23$.
Maldito. Parece que tienes que seguir adelante. La repetición de este proceso que, finalmente, consigue $2n\ge 222\Rightarrow n=111$, lo que funciona! (Creo...¿esta todo a mano)
Tenga en cuenta que el proceso se vuelve ligeramente más fácil, ya que se hacen más grandes ya que tenemos plazas en la parte superior para el más pequeño de los números primos. Pero aún así es muy bashy y dudo que haya una manera mejor de hacer esto a mano.
