$r\in\Bbb R$, $|r|\gt1$ y $\lim\limits_{n\to\infty}\{r^n\}$ existe. Se puede concluir que $r$ es un número entero? Aquí, $\{x\}=x-[x] $ es la parte fraccionaria de $x\in\Bbb R$
Si $r\in\Bbb Q$, la respuesta es ¡sí!
Muchas gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nope!
Por ejemplo, el número de
$$(1 - \sqrt{2})^n + (1 + \sqrt{2})^n $$
es siempre un número entero, que puede ser visto de varias maneras, tales como el uso del teorema del binomio para expandir los dos binomios y viendo que los extraños poderes de $\sqrt{2}$ cancelar.
Sin embargo, $|1 - \sqrt{2}| < 1$, por lo que el primer término converge a$0$$n \to \infty$.
Por lo tanto, la diferencia entre el $(1 + \sqrt{2})^n$ y el entero más cercano disminuye a$0$$n \to \infty$.
Esta secuencia alterna entre ser un poco por encima y ligeramente por debajo de un número entero: para obtener la parte fraccionaria a converger, podemos tomar cada otro término. Así
$$r = (1 + \sqrt{2})^{2} = 3 + 2 \sqrt{2}$$
es un contraejemplo a tu conjetura.
