Deje $R$ ser un director ideal de dominio que no es un campo, y deje $M$ ser un ideal maximal del polinomio anillo de $R[X_1,\dots,X_n]$. Si $n=1$ es muy fácil ver que $M \cap R \neq 0$. Es esto también es cierto para $n>1$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
YequalsX
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La premisa de la pregunta es incorrecta (y la "muy fácil de ver" reclamación de $n =1$ es falso).
Supongamos por ejemplo, que el $R$ es un DVR, con uniformizer $\pi$. (E. g. $R = \mathbb Z_p$ $\pi = p$ .) Si consideramos que el principal ideal de $(\pi x - 1)$$R[x]$, luego el cociente de $R[x]$ por este ideal es isomorfo a $R[1/\pi]$, la fracción de campo de $R$. Por lo tanto este principio ideal es máxima, pero ha trivial intersección con $R$.
Estas dos publicaciones son relevantes.
Si PID es $R$ tiene una infinidad de distintos primer ideales, entonces la afirmación de la pregunta es verdadera para cualquier $n$. La prueba utiliza el hecho de que un anillo $R$ es Jacobson, junto con la forma general de la Nullstellensatz para Jacobson anillos.
