La dispersión de las Amplitudes de los Diagramas de Feynman (Spinor Helicidad Formalismo)

Question

$\require{cancel}$ Estoy tratando de hacer un ejercicio de Dispersión de las Amplitudes de Elvang (Ejercicio 2.9), el cual dice:

Mostrar que $A_5(f^-\bar{f}^-\phi\phi\phi) = g^3\frac{[12][34]^2}{[13][14][23][24]} + 3\leftrightarrow 5 + 4\leftrightarrow 5$ en la teoría de Yukawa

Así que, yo dibuje el diagrama de feynman, que creo que se ve algo como esto (el término de interacción es $L_i = g\phi\psi\bar{\psi}$):

Es este diagrama correcto? El uso de las reglas de Feynman para la teoría de Yukawa (en la Masa Spinor Helicidad formalismo) me evaluar este: $$ A_5(f^-\bar{f}^-\phi\phi\phi) = g^3\langle2|\frac{(\cancelar{p_1} + \cancelar{p_2})}{(({p_1} + p_2)^2}\frac{(\cancelar{p_1} + \cancelar{p_2} + \cancelar{p_3})}{(p_1 + p_2 + p_3)^2}|5\rangle \\~~~\\+ ~1\leftrightarrow 3 + ~1\leftrightarrow 4 + ~3\leftrightarrow 4 $$

Mi estrategia ha sido hasta ahora calcular el primer término, a continuación, simplemente hacer las permutaciones en el final. En general, esta es una buena estrategia para tomar con diagramas como este?

Haciendo esto, termino con la siguiente para el primer término: $$ A_5^{(1)} = g^3\langle2|\frac{s_{13}}{s_{12}(s_{12} + s_{13} + s_{23})}|5\rangle $$

Donde $s_{ij} = -(p_i + p_j)^2 = 2p_i\cdot p_j$ y he utilizado el Weyl ecuación de $\langle 2|p_2 = 0$.

Puedo ir más allá, utilizando el hecho de que $s_{ij} = \langle ij\rangle[ij]$, con lo que: $$ A_5^{(1)} = g^3\langle2|\frac{\langle 13\rangle[13]}{\langle 12\rangle[12](\langle 12\rangle[12] + \langle 13\rangle[13] + \langle 23\rangle[23])}|5\rangle $$

Me parece que no puede simplificar este proceso. Me voy a la derecha acerca de cómo solucionar esto? ¿Hay algún truco que me estoy perdiendo?

Answer 1

No voy a dar la solución a todo, sólo algunos consejos que te ayudarán a llegar allí.

1. Etiqueta de sus partículas correctamente de acuerdo con la pregunta. En este caso, que hemos etiquetado $f^- = 1$, $\bar{f}^- = 2$, $\phi = 3,4,5$. Usted necesidad de volver a dibujar su diagrama con estos convenios.

2. Estás en lo correcto acerca de las permutaciones. En general es una buena estrategia para centrarse en un diagrama y sólo incluyen las permutaciones en la final, en la forma $(3 \leftrightarrow 5) + (4\leftrightarrow 5)$. Una vez que hayas etiquetar sus partículas correctamente, esto debería ser obvio.

3. Mirando el primer término, debe ser más cuidadoso con su spinor-helicidad variables. Recuerde que $\not{p} = -|p] \langle p| - |p \rangle [p |$ así, en particular, $\langle a| \not{p}\not{q}\ | b \rangle$ sí no igual $\langle a \ b \rangle p\cdot q$ como usted dice.

4. Una vez que hayas hecho el spinor multiplicación correctamente en el numerador de la primera parte, usted debe tener la suma de varios términos. No me sorprendería si usted necesita un Schouten identidad para simplificar la forma en que se cita.

Déjame saber cómo va eso - me puede dar más detalles si te quedas atascado. Buena suerte!

Actualización: Más información en el Punto #3

$$\langle a| \not{p}\not{q}\ | b \rangle = \langle a \ p \rangle[p \ q] \langle q \ b \rangle$$

donde hemos utilizado

$$p^{\dot a b}=-|p\rangle^{\dot a}[p|^b$$

y una fórmula similar para $q$.

Nota en particular de que esta es no igual a

$$\langle a \ b \rangle \langle p\ q \rangle [p \ q]$$

en general.