En el libro "la Parada Óptima y Libre de Problemas de Frontera" no se le da el Doob la desigualdad de la siguiente forma.
Deje $X = (X_t,F_t)$ ser un submartingale. Entonces para cualquier $\varepsilon>0$ y cada una de las $T>0$ $$ \mathsf P\left\{\sup\limits_{t\leq T}|X_t|\geq \varepsilon\right\}\leq \frac 1\varepsilon \sup\limits_{t\leq T}\,\,\,\mathsf E\,|X_t|. $$
Por otro lado, George Lowther presenta el siguiente ejemplo. Deje $X_0 = 0$,
$$
X_1 = \begin{cases}
1, &\quad p = 1/3;
\\
0, &\quad p = 1/3;
\\
-1,&\quad p =1/3.
\end{casos}
$$
y $X_2 = 1$ si $X_1 = 1$, $X_2 = 0$ si $X_1 = -1$ y
$$
X_2 = \begin{cases}
1, &\quad p = 1/2;
\\
-1,&\quad p =1/2.
\end{casos}
$$
si $X_1 = 0$. Finalmente, $X_n = X_2$ todos los $n\geq 2$.
Es fácil comprobar que este es un submartingale. Por otro lado, para $\varepsilon = 1$ hemos $$ \mathsf P\left\{\sup\limits_{n\leq 2}|X_n|\geq 1\right\} = 1 $$ pero $\mathsf E[|X_0|] = 0$, $\mathsf E[|X_1|] = 2/3$ y $\mathsf E[|X_2|] = 2/3$ -, por lo que la desigualdad $1\leq 2/3$.
Podría ayudar con la búsqueda de un error ya que estoy confundido?
La referencia puede ser visto aquí: http://books.google.com/books?id=UinZbLqpUDEC&pg=PA60&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false la página 62.
Esta pregunta que se planteó a partir de la discusión aquí: Los límites para la submartingale
