¿La noción de conjunto vacío es relativa o absoluta?

Question

Supongamos que especificamos subconjuntos de un conjunto de referencia por pares, donde la primera coordenada especifica un miembro del universo del discurso, y la segunda coordenada especifica el valor que la función característica arroja para ese miembro del conjunto de referencia.

E. G., si tenemos $\{a, b\}$ como el universo del discurso, entonces tenemos subconjuntos $\{(a, 0), (b, 0)\}, \{(a, 0), (b, 1)\}, \{(a, 1), (b, 0)\}, \{(a, 1), (b, 1)\}$ donde $(x, 0)$ indica que $x$ no pertenece al conjunto, mientras que $(x, 1)$ indica que $x$ pertenece al conjunto.
Consideremos ahora el conjunto vacío comparado a través de diferentes universos de discursos, por ejemplo $\{a, b\}$ y $\{a\}$ .
Para $\{a, b\}$ tenemos $\{(a, 0), (b, 0)\}$ como el conjunto vacío bajo esta especificación, y para $\{a\}$ tenemos $\{(a, 0)\}$ como el conjunto vacío según esta especificación.

Así pues, parece que tenemos una noción relativa de conjunto vacío en este contexto, pero a menudo los libros hablan de "conjunto vacío", lo que lo sugiere como absoluto.

Entonces, ¿el concepto de conjunto vacío es absoluto o relativo?

Answer 1

Es absoluto. Lo que estás viendo es un imagen del conjunto vacío bajo un mapa y esto puede ser diferente para diferentes mapas.

Answer 2

Si necesita extensionalidad de $\in$ es decir, dos conjuntos son equivalentes si y sólo si tienen los mismos miembros, y un modelo es transitivo (un miembro de un conjunto en el modelo está también en el modelo) - entonces el conjunto vacío es absoluto.

Esto es bastante sencillo de demostrar, ya que todos los elementos de todos los conjuntos son también conjuntos, y el conjunto vacío es tal que nadie es miembro de él.

Por otra parte, si se considera $V$ un modelo de $ZF$ Elige $x\in V$ y declara $\in^*$ como la relación definida únicamente sobre conjuntos generados a partir de iteraciones de $\mathcal P(x)$ (es decir, repetir la operación del grupo electrógeno), nadie estará en $x$ tendrá un modelo de $ZF$ y el conjunto vacío de este modelo será $x$ .

Sin embargo, como la intuición que nos guía con los espacios topológicos es mayoritariamente $\mathbb R^n$ lo mismo ocurre con la teoría de conjuntos, y la intuición que nos guía es la de modelos bien fundados y transitivos de $ZF$ en el que el conjunto vacío es algo absoluto (con respecto a los modelos internos y las extensiones forzosas).

Así que esencialmente todo esto se reduce a su teoría de conjuntos, y cómo se define $\in$ y qué modelos va a coger.

Adenda: Un punto importante es la visión interna y externa del conjunto vacío. Si un modelo es extensional (es decir $\in$ satisface la extensionalidad) entonces el conjunto vacío es único para el modelo, y todos los modelos perciben sus conjuntos vacíos de la misma manera -- el único conjunto que no tiene elementos (y éste es único por extensionalidad).

Sin embargo, si consideramos un modelo desde un punto de vista externo tenemos que podría tener un conjunto vacío diferente del modelo en el que trabajamos, como el ejemplo que puse anteriormente.

Answer 3

Hay varias formas de responder a esta pregunta dependiendo del tipo de perspectivas que quiera adoptar. En primer lugar, yo no llamaría exactamente conjunto vacío a lo que estás describiendo: puesto que estás especificando el superconjunto, en realidad estás describiendo el mapa de inclusión única $\emptyset \to A$ que tiene $A$ como parte de sus datos.

Desde un punto de vista fundacional, es cierto que en ZF existe literalmente un único conjunto vacío $\{ \}$ (existe por el axioma del conjunto vacío y es único por el axioma de extensión ). El subconjunto vacío de cualquier conjunto es precisamente este conjunto vacío, aunque en ZF los subconjuntos no vienen con una identificación de su conjunto padre, y si proporcionas tal identificación estás especificando una función de algún tipo como he dicho más arriba.

Adoptando un punto de vista más categórico, "el" conjunto vacío es "el" objeto inicial en la categoría de conjuntos. Los objetos iniciales no son literalmente únicos en general, pero un objeto inicial es más que un objeto: viene con mapas distinguidos $\emptyset \to A$ para cada conjunto $A$ satisfacen la propiedad universal apropiada, y dos objetos iniciales cualesquiera (junto con esos mapas) son isomorfos a través de un isomorfismo único. Esta es una forma de justificar rigurosamente el uso de "el" conjunto vacío, incluso si no se adopta un punto de vista fundacional.

Desde el punto de vista categórico, se puede pensar en subconjuntos de un conjunto $A$ como monomorfismos $S \to A$ y luego asociado a cualquier conjunto $A$ es el morfismo único $\emptyset \to A$ que puede considerarse como el objeto inicial de la categoría de monomorfismos en $A$ (o más generalmente la categoría de morfismos en $A$ ). Así que en cierto sentido es el "conjunto vacío relativo" sobre $A$ .