Integración de la 2-forma

Question

En $\mathbb{R}^3$ considero que el compacto de 2-dimensiones del colector de $$ M=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^2: z=xy\right\} $$ que es orientada por el (global) mapa de $\phi\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, (x,y)\mapsto (x,y,xy)$. Por otra parte, una 2-forma está dada por $$ \omega:=3zdy\wedge dz+(x^2+y^2)dz\wedge dx+xzdx\wedge dy. $$ Considere la posibilidad de $$ A:=\left\{(x,y,z)\in M: \lvert x\rvert\leq 1,\lvert y\rvert\leq 1\right\} $$ y mi tarea ahora es calcular la integral $$ \int_{Un}\omega. $$

Primero de todo he calculado el pullback $\phi^{\star}\omega$, que es mi cálculo $$ \phi^{\estrella}\omega=x^2ydx\wedge dy-(x^2+y^2)dx\wedge y dx+xdy+3xydy\wedge ydx+xdy\\ =x^2ydx\wedge dy-(x^2+y^2)xdx\wedge dy-2xy^2dx\wedge dy\\ =(-x^3+x^2y-4xy^2)dx\wedge dy $$

Que en mi opinión es $\phi^{-1}(A)=[-1,1]\times [-1,1]$.

Así que si mis cálculos son correctos tengo que calcular la siguiente integral: $$ \int\limits_{[-1,1]\times [-1,1]}(-x^3+x^2y-4xy^2)dx\wedge dy $$

1.) Esto es correcto? 2.) Si sí, ¿cómo puedo calcular esto?

Saludos!

Answer 1

En definitiva, su cálculo de $\phi^\ast \omega$ es correcta, y que estábamos en el camino correcto. Si quieres ser completamente pedante, usted tiene los siguientes ingredientes:

1. su mapa de $\phi : \mathbb{R}^2 \to M$,
2. la inclusión $\iota : M \to \mathbb{R}^3$,
3. el $2$forma $\omega = 3z dy \wedge dz + (x^2+y^2)dz \wedge dx + xz dx \wedge dy$$\mathbb{R}^3$,
4. el subconjunto cerrado $A = \phi([-1,1]^2)$,

y desea calcular $$ \int_A \iota^\ast\omega = \int_{[-1,1]^2} (\s \circ \phi)^\ast\omega = \int_{[-1,1]^2} \psi^\ast \omega, $$ donde, por comodidad, $$ (\psi^1(x,y),\psi^2(x,y),\psi^3(x,y)) = \psi(x,y) := (\s \circ \phi)(x,y) = (x,y,xy). $$

En primer lugar, observar que $$ \psi^\ast dx = d \psi^1 = \frac{\partial \psi^1}{\partial x} dx + \frac{\partial \psi^1}{\partial y} dy = dx,\\ \psi^\ast dy = d \psi^2 = \frac{\partial \psi^2}{\partial x} dx + \frac{\partial \psi^2}{\partial y} dy = dy,\\ \psi^\ast dz = d \psi^3 = \frac{\partial \psi^3}{\partial x} dx + \frac{\partial \psi^3}{\partial y} dy = ydx + xdy. $$ Por lo tanto, $$ \psi^\ast \omega = \psi^\ast(3z dy \wedge dz + (x^2+y^2)dz \wedge dx + xz dx \wedge dy)\\ = 3\psi^3 \psi^\ast dy \wedge \psi^\ast dz + ((\psi^1)^2+(\psi^2)^2)\psi^\ast dz \wedge \psi^\ast dx + \psi^1 \psi^2 \psi^\ast dx \wedge \psi^\ast dy\\ = 3xy dy \wedge (ydx+xdy) + (x^2+y^2)(ydx+xdy)\wedge dx + x(xy)dx\wedge dy\\ = -3xy^2 dx \wedge dy -x(x^2+y^2)dx \wedge dy + x^2 y dx \wedge dy\\ = (-x^3+x^2y-4xy^2)dx \wedge dy, $$ exactamente como se calcula.

Por último, desde el $dx \wedge dy$ es sólo la forma de volumen en $\mathbb{R}^2$, de ello se sigue que, por definición, $$ \int_A \iota^\ast \omega = \int_{[-1,1]^2} \psi^\ast \omega = \int_{[-1,1]^2} (-x^3+x^2y-4xy^2)dx \wedge dy := \int_{[-1,1]^2} (-x^3+x^2y-4xy^2)dx dy, $$ que es sólo una honesto a la bondad integral doble sobre un rectángulo en el plano.