Tengo un problema aquí, que se hace muy difícil de manejar. Tengo que encontrar la transformada de fourier de: $$f(x)=\frac{x}{x^4+4}$$ estoy seguro de que habrá muchas maneras de hacer esto y voy a publicar mi método que empecé, pero estoy teniendo un tiempo duro con el.
En primer lugar, esta es una práctica problema que se dio con una solución, pero los pasos son difíciles de seguir: Aquí está la solución que he recibido.
$$\mathfrak{F}\left[\frac{x}{x^{4}+4}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^{4}+4}e^{-i\xi x}dx$$
"Nos evaluar esta integral en la mitad superior del plano, con dos polos en el interior del contorno, en$1+i$$-1+i$, cuando se $x > 0$." (Nota: Esta es la Teoría de Variable Compleja, específicamente las Integrales de Contorno. El capítulo en el libro es "la Integración Compleja de los Residuos y la Teoría")
$$F = \frac{i\sqrt{2\pi}}{4}e^{-\xi}\sin(\xi) $$
"Extraño extensión da"
$$F = \frac{i\sqrt{2\pi}}{4}e^{-|\xi|}\sin(\xi) $$
Esta es una solución que proporciona.
En general a tomar la integral de algo como esto en la mitad superior del plano, se requiere evaluar primero los polos.
Descubro polos de $\dfrac{xe^{i\xi x}}{x^{4}+4}$ (es decir, mirar el $x^{4} + 4$) en $$ \sqrt{2}e^{(\frac{i\pi}{4}(2k+1))}, k = 0,1,2,3$$
Una vez que tengo estos puede dibujar una figura de la situación:
Como se puede ver, dado que estos elegido Contornos, uno de $-\infty$ $\infty$y el otro contorno donde los valores van en el eje imaginario positivo. Este será igual a cero cuando se considera ahora$x=z$$R \rightarrow \infty$:
$$\int_{0}^{\pi}\frac{z}{z^{4}+4}e^{-i\xi z}dz$$
y $z = Re^{i\theta}$ $dz = RdRd\theta$ tenemos
$$\int_{0}^{\pi}\frac{R^{4}e^{4i\theta}}{R^{4}e^{4i\theta}+4}e^{-i\xi z}RdRd\theta$$
Así se puede ver que esto sería ir a cero, porque de la $e^{z}$ plazo como $ R \rightarrow \infty$ no importa lo que el valor de $\theta$ integramos.
Bueno, ahora que esta parte es a través de la dificultad que tengo es en encontrar los restos de mis dos polos que tengo. Me puede hacer esto mediante la búsqueda de la general de residuos de la $\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{n}(2k+1)}$:
En primer lugar me cambie el nombre $\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{n}(2k+1)}$ $C_{k}$que lo hace más manejable. donde nosotros sólo nos preocupamos de k = 0,1.
$$ Res[C_{k}] = \lim_{z\rightarrow C_{k}} (z-C_{k})f(z)$$ $$ Res[C_{k}] = \lim_{z\rightarrow C_{k}} \frac{(z-C_{k})ze^{-i\xi z}}{(z^{4}-4)} $$
necesitamos de L'Hospital de la regla y, a continuación, después de la evaluación de este puedo conseguir algo extraño que no me gusta tratar con:
$$ Res[C_{k}] = \lim_{z\rightarrow C_{k}} \frac{e^{-i\xi z}}{(4C^{2})} $$
$$ Res[C_{k}] = \lim_{z\rightarrow C_{k}} \frac{e^{-i\xi z}}{(8e^{\frac{i2\pi}{n}(2k+1)})} $$
lo que me molesta es el $e^{i\xi z} $ término en el numerador. Mi enfoque puede ser extraño demasiado. Yo estoy esperando a alguien que ha hecho a problemas similares a los de proporcionar alguna información. El uso de Complejas técnicas de integración sería más útil, pero si tienes cualquier otra idea que sería bueno escuchar de ellos también. Siéntase libre de preguntar si usted desea ver los pasos que me he saltado. Me pueden escribir a aquellos. Voy a llegar a hacerlo tan pronto como tenga tiempo.
