En el contexto de Grothendieck del anillo de variedades no se utiliza a menudo la noción de variedad, más de variedad (por ejemplo aquí -2.2.1). Siempre he usado solamente variedad sobre el campo. Mi pregunta es : ¿cómo se definen ? (¿ alguien conoce alguna artículos introductorios en este tema ?) ¿Cuál es el más general de definición de variedad, más de algo ?
Respuestas
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Una variedad $X$ sobre una base variedad $S$ es sólo una variedad $X$ junto con cualquiera de los morfismos $f : X \to S$.
Un ejemplo muy simple sería que usted puede considerar la posibilidad de variedades de más de $\operatorname{Spec} \mathbb{C}$ o $\operatorname{Spec} \overline{\mathbb{F}_p}$, que son, por supuesto, sólo los puntos.
Esto es importante si desea formar el producto Cartesiano de las variedades, por ejemplo. $\mathbb{C} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{C}$ es muy diferente anillo de $\mathbb{C} \otimes_\mathbb{C} \mathbb{C} \cong \mathbb{C}$. Así que si quieres formar el producto de dos complejos de variedades, no basta con tener las variedades de sí mismos; necesitan saber que son las variedades más $\mathbb{C}$ y no sobre otra cosa. Eso es algo que la "variedad" (lo que sea)" estructura le da.
(Nota: a veces, una variedad de más de $\operatorname{Spec} k$ se conoce como una "variedad"$k$.")
Si $S$ tiene más de un punto, también se puede pensar de $X$ como ser una familia de variedades, uno para cada punto de $s \in S$, donde las variedades de la familia son las fibras $f^{-1}(\{s\})$.
Por supuesto, una variedad de más de una base es la misma cosa como una de morfismos, así que ¿por qué la redundancia del término? Así, en general, cuando hablamos de una variedad de más de $S$ la idea es sugerir que tenemos un elemento de la categoría de todas las variedades de más de $S$. Morfismos en esta categoría la necesidad de preservar el morfismos a $S$, y el producto es un producto de fibra de más de $S$.
Erin Hagood
Puntos
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A mí me parece que la primera página de Sahasrabudhe de la tesis fue incluido para hacer de ella un documento completo y ha sido tomado de Bittner del papel, consulte aquí.
- F. Bittner. El universal característica de Euler para las variedades de característica cero. Compos. De matemáticas. 140, 1011-1032 (2004).
La definición de una variedad de más de una variedad $S$ es un leve generalización de la definición a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$ (más precisamente en $\text{Spec}\,k$). Cada variedad viene con un mapa. En el caso de los afín variedades más $\text{Spec}\,k$, $k$ los mapas en el anillo de coordenadas de $X$, decir $C(X)$. Y cuando hablamos de morfismos entre dos variedades de $X$$Y$$\text{Spec}\,k$, entonces se forma un diagrama conmutativo respetando esta incrustación de $k$. Esto se puede generalizar sobre cualquier $S$ y morfismos entre el $S$-esquemas $X$ $Y$ tienen que respetar esta incrustación. Ya que cada anillo admite un mapa de $\mathbb{Z}$ (en el caso de $k$-álgebras, un mapa de $k$), por lo tanto, cualquier variedad es una variedad más de $\text{Spec}\,\mathbb{Z}$ ($\text{Spec}\,k$ respectivamente). Isomorfismo de las variedades de más de $S$, son morfismos con la recíproca, y esta es una relación de equivalencia de forma que se puede hablar de clases de isomorfismo.
