La teoría de conjuntos para la categoría de la teoría de los principiantes

Question

Me pregunto cuánto la teoría de conjuntos es necesaria para leer los fundamentos de la categoría de teoría, y lo que (preferiblemente corto) libro sería recomendable.

Generalmente sólo quiero usar ingenua teoría de conjuntos sin preocuparse de si algo es realmente un conjunto, por lo que me molesta bastante que tenemos pequeños/local pequeño/gran categoría donde tenemos que especificar ciertas cosas para ser un conjunto. Nunca he trabajado con la teoría de conjuntos axiomática antes, y creo que no estoy interesado en entrar en la fundación profundamente: sólo quiero saber lo suficiente acerca de/estar cómodo con las clases ... leer categoría de teoría o de álgebra homológica.

Yo wiki-ed un poco y parece ser diferentes axiomas de la teoría de conjuntos. Como las clases están implicados, supongo que debería estar buscando en NBG o MK axiomas.

Así que nadie puede brevemente dime cuánto conocimiento en la teoría de conjuntos sería suficiente, o si hay notas cortas/libros que podrían servir para este propósito. Gracias!

Answer 1

En contraste con lo que algunas de las otras respuestas parecen estar diciendo, yo creo que los problemas de tamaño juegan un papel muy importante en la categoría de teoría. Considere, por ejemplo, la noción de completar categoría, es decir, una categoría de tener todos los pequeños límites. La mayoría de los "naturalmente-ocurring" categorías, tales como conjuntos, grupos, categorías, etc. son completas (y cocomplete), y la capacidad para construir los límites de los pequeños y colimits es extremadamente importante. Sin embargo, estos son todos los grandes categorías, y un clásico de la prueba debido a Freyd muestra que, de hecho, cualquier pequeño completar categoría debe ser un preorder (es decir, cualquiera de las dos flechas paralelas son iguales). Por lo tanto, una de las más básicas nociones de categoría de teoría (integridad) se convierte en trivial si usted no tiene cuidado con el tamaño de las distinciones.

Yo también siento que más matemáticos debe prestar atención al conjunto teórico, especialmente en la categoría de teoría, y me escribió una desgracia larga nota a mí mismo sobre el tema, algo parecido a la Murfet y Easwaran de las páginas vinculadas a Greg en la respuesta.

Sin embargo, para los propósitos de aprendizaje de la categoría de teoría, no creo que uno debe prestar mucha atención a ninguna de estas cosas. Creo que todo lo que usted necesita saber, más allá de la ingenua teoría de conjuntos, es que algunas colecciones son "demasiado grandes para ser conjuntos" (como la colección de todos los conjuntos), pero todavía podemos manipularlos más o menos como si fueran conjuntos, y los llamamos "clases". NBG y MK formalizar esta muy bien con la "Limitación de Tamaño" axioma: una clase es un conjunto si y sólo si no es bijective con (es decir, "no es tan grande como") la clase de todos los conjuntos.

Answer 2

Personalmente he encontrado el lenguaje de conjuntos y clases confuso, tal y como lo describen. Nunca he estado seguro de que precisamente lo que las operaciones en las clases están permitidos. Por ejemplo, algunos libros de texto mencionar la categoría de todos los functors de un Set a otro como un ejemplo de una categoría que no es localmente pequeña; pero a mí me parece que no es una categoría, debido a su colección de objetos es demasiado grande a pesar de ser una clase.

Estoy mucho más contento con el formalismo de Grothendieck universos y el universo axioma: Cada conjunto está contenida en algunos Grothendieck del universo. Normalmente elegimos un universo U y acepta que el Conjunto denota la categoría de elementos de U (o conjuntos cuya cardinalidad es un elemento de U). Entonces no hay ningún problema en la formación de la functor categoría [Set, Set], y el uso ordinario de la teoría de conjuntos, podemos ver que su Hom conjuntos de hecho son demasiado grandes para ser elementos de U.

Para la discusión relacionada con ver mi pregunta aquí.

Answer 3

En mi opinión personal, no se necesita ninguna teoría de conjuntos para aprender los conceptos básicos de la categoría de teoría. Bien, usted necesita saber el significado de los símbolos $\in$$\subset$, debido a que cualquier matemático papel probable que el uso de ellos, pero eso es todo.

Cada de vez en cuando, su introducción será probable que el uso de la palabra "clase", o la observación de que estamos trabajando dentro de un plazo de universo. Para el propósito de aprender los conceptos básicos, yo reclamo puede ignorar estas declaraciones. Sólo pensar en la "clase" como un gran conjunto, y "trabajar dentro de un universo" como "se nos permite hacer conjunto razonable de la teoría de las construcciones".

Sin duda, vale la pena el tiempo va hacia atrás y aprender lo que significan esos términos. Pero yo miraba a mi estantería. La mayor intensidad de la categoría teórica libros son FGA (junto con "Fundamentales de la Geometría Algebraica: Grothendieck del FGA Explicó"), "Métodos de álgebra homológica", "Introducción al Álgebra Homológica", Hatcher "Topología Algebraica" y "Una guía para los Grupos Cuánticos." Yo reclamo que usted pueda comprender cualquiera de estos con sólo el más ingenuo de la teoría de conjuntos.

Me interesaría saber qué áreas de la categoría de la teoría no pueden ser manejados en este ingenuo manera.

Answer 4

Algunos de ustedes desea simplemente para aprender la teoría de conjuntos, en lugar de aprender la teoría de conjuntos con el fin de hacer de la categoría de teoría. Por lo tanto, he aquí una lista de algunos de los la mayoría de los textos canónicos utilizado por los teóricos de la---estos libros son todos fantásticos. Ninguno de ellos, sin embargo, está preocupado con la categoría de la teoría del todo.

La Teoría de conjuntos, por Thomas Jech. (3ª edición del Milenio). Este libro es un estándar de posgrado introducción a la teoría de conjuntos, y cubre la totalidad de la teoría elemental y más, incluyendo infinita combinatoria, obligando, de la independencia, descriptivo de la teoría de conjuntos, los grandes cardenales y así sucesivamente. Se utiliza casi universalmente en cualquier grave de posgrado introducción a la teoría de conjuntos. Excelente texto.

La Mayor Infinito, por Akihiro Kanamori. Esta enciclopédico cuenta de los grandes cardenales es simplemente fantástico. Contiene todo lo que usted quería saber acerca de la esencia de todos el más conocido de los grandes cardenales. Estos cardenales forma muy rico, con una estructura altamente desarrollada de la teoría, incluyendo sorprendentes conexiones incluso con la estructura de los conjuntos de reales y mucho más. Sin duda alguna hablar de "universos" en la categoría de teoría sería profundamente informado por el conocimiento de la gran cardenal de la jerarquía, y la mucho más matizada y desarrollado la teoría de la estructura que proporciona para estos conceptos.

Teoría de conjuntos: Una Introducción a la Independencia de las Pruebas, por Kenneth Kunen. Este corto libro es un excelente compañero para Jech del libro, en el que tienen diferentes enfoques para muchos problemas comunes. Yo siempre recomiendo a mis estudiantes de posgrado para jugar a estos libros el uno contra el otro.

Por supuesto, hay muchos otros.

Answer 5

Dan Murfet tiene algunas notas sobre los fundamentos para la categoría de la teoría que se puede encontrar aquí. Contienen una introducción a Grothendieck universos, así como algunas referencias para el aprendizaje acerca de NBG clase de teoría.

Si usted está particularmente interesado en algunos de los más posible de las fundaciones y sus pros y sus contras puede que desee echar un vistazo a este post del blog de Kenny Easwaran.

Creo que si solo deseas aprender de introducción de la categoría de teoría, especialmente para el propósito de hacer álgebra homológica, a menudo de forma segura sólo pretendo que el tamaño de los problemas no son realmente problemas. Es cierto que hay muchos aspectos técnicos que implican tamaño que pueden viaje. Sin embargo, tiendo a ver a estos como "justo" tecnicismos, especialmente desde el punto de vista de lo que yo pienso acerca de la categoría de teoría. Tal vez este es un punto controversial de vista?