¿Por qué el de Gauss-Bonnet teorema sólo se aplican a un número de dimensons?

Question

Uno puede usar el de Gauss-Bonnet teorema en 2D y 4D para deducir las características topológicas de un colector haciendo integrales sobre la curvatura en cada punto.

En primer lugar, ¿por qué no hay un equivalente del teorema en 3D? ¿Por qué no puede el teorema de ser probado para que sea impar el número de dimensiones (es decir, qué parte de la prueba que prohíbe este tipo de generalización)?

Segundo, y relacionado, si había un teorema, lo interesante y difícil problema sería fácil/incoherente? (la segunda pregunta es intencionalmente vaga, no hay necesidad de contestar si no queda claro)

Answer 1

En primer lugar, un debate con la participación de Chern original de la prueba, compruebe aquí, en la página 18.

Creo que la razón es que el original de Chern-Gauss-Bonnet teorema puede ser tratada como topológicamente $$ \int_{M} e(TM)=\chi_{M} $$ y por extraño dimensiones de los colectores, la clase de Euler es "casi cero" como $e(TM)+e(TM)=0$. Por lo que se desvanece de rham cohomology. Por otro lado, $\chi_{M}=0$ si $\dim(M)$ es impar. Por lo que el teorema de ahora trivialmente tiene de extraño dimensión de los casos.

Otra perspectiva es a través de Atiyah-Singer índice teorema. El de Gauss-Bonnet teorema puede ser visto como un caso especial que implican el índice de de rham operador de Dirac: $$ D=d+d^{*} $$ Pero en el extraño dimensiones de lotes, el índice de $D$ es cero. Por lo tanto, el lado izquierdo y derecho de Gauss-Bonnet son cero.

He oído a través de la calle el rumor de que hay algo de esperanza para "torcer" el operador de Dirac en la K-teoría, por lo que el índice teorema da no trivial resultados por dimensiones impares. Pero esto puede ser bastante involucrados, y no es mi campo de especialización. Uno de los expertos en este es Daniel Liberado, a quien usted puede contactar en este.