Integral de la convergencia/divergencia de

Question

Estoy un poco luchado con esta integral. Tengo que probar si esta integral converge o diverge.$$\int_{0}^\infty\frac{dx}{x^p+x^q}$$ here $p>q$. I do know, that I need to divide this interal into two parts: $$\int_{0}^1\frac{dx}{x^p+x^q} + \int_{1}^\infty\frac{dx}{x^p+x^q}$$ What equivalent function can I take instead of $\frac{1}{x^p+x^p}$ ?

Answer 1

Con el fin de evitar problemas de integrabilidad en un buen barrio de el origen necesitamos $q<1$ y con el fin de evitar problemas de integrabilidad de una izquierda barrio de $+\infty$ necesitamos $p>1$. Si tales restricciones se mantiene, el valor de la integral está dada por $$ \frac{\pi}{(p-q)\sin\left(\frac{\pi(1-q)}{p-q}\right)}$$ debido a la función Beta de Euler y la reflexión de la fórmula para el $\Gamma$ función.