El valor mínimo de $x^8 – 8x^6 + 19x^4 – 12x^3 + 14x^2 – 8x + 9$ es

Question

El valor mínimo de $$f(x)=x^8 – 8x^6 + 19x^4 – 12x^3 + 14x^2 – 8x + 9$$ es

(a)-1

(b)9

(c)6

(d)1

Aparte de intentar obtener los $1$, que en este caso es simple y $f(2)=1$ existe un método estándar para acercarse a este tipo de problemas.

Por favor, tenga en cuenta que este es un objetivo de la pregunta en una de las de la competencia, examen y obtener alrededor de 5 minutos para resolverlo.

También esto se pide en la escuela primaria de la sección, por lo que sólo un conocimiento básico de cálculo y polinomios se supone.

Answer 1

Este es un poco hecho a la medida, me temo. El inicio del polinomio naturalmente se inclina a un cuadrado perfecto trinomio (algo que, obviamente, sería de ayuda en la determinación de un mínimo), y muy bien, que todo se fuera de allí.

\begin{align} f(x) & = x^8-8x^6+19x^4-12x^3+14x^2-8x+9 \\ & = x^8-8x^6+16x^4 \\ & \phantom{= x^8-8x^6\,\,}+\phantom{1}3x^4-12x^3+12x^2 \\ & \phantom{= x^8-8x^6+19x^4-12x^3\,\,}+\phantom{1}2x^2-8x+8 \\ & \phantom{= x^8-8x^6+19x^4-12x^3+14x^2-8x\,\,}+1 \end{align}

lo que nos permite reescribir $f(x)$

$$ f(x) = x^4(x^2-4)^2 + 3x^2(x-2)^2 + 2(x-2)^2 + 1 $$

Los tres primeros términos son claramente no negativo, y cada uno llega a su mínimo de $0$ $x = 2$ (el primer término también tiene un mínimo en $x = -2$). Por lo tanto, el mínimo de $f(x)$ debe $1$.

Esta realidad no puede ser generalizado. (Me refiero, se puede aplicar el enfoque general, pero no suele proporcionar un cómodo resultado.) No estoy seguro de que me hubiera visto de esta descomposición de $f(x)$ excepto por la presencia de la cuestión.

Answer 2

No sé que se cuenta como una heurística, pero si uno asume que el mínimo se alcanza para un valor entero de $x$, entonces cualquiera de las siguientes observaciones conduce a una plausible conjetura:

• el único entero de la raíz de $f'(x)=0$$x=2\,$, lo que sugiere que la respuesta es $f(2)=1$;

• la única ecuaciones $f(x)=y \in \{-1,9,6,1\}$ con el entero de las raíces $x$ son en los casos (b) y (d), lo que sugiere que la respuesta es la más baja de las dos, es decir, (d).

Answer 3

Deje $a,b,c,d,e,k\in\Bbb R$,

$$(x^4-ax^2)^2+(bx^2-cx)^2+(dx-e)^2+k=\\ x^8- 2 a x^6+(a^2+ b^2) x^4 - 2 b c x^3 + (c^2 + d^2) x^2 - 2 d e x+e^2+k$$ Por la identificación es fácil de obtener $$a=4 \implies b = \sqrt{3} \implies c=\frac{6}{\sqrt{3}} \implies d= \sqrt{2} \implies e= \frac{4}{\sqrt{2}} \implies k=1$$

esto implica que $$x^8 – 8x^6 + 19x^4 – 12x^3 + 14x^2 – 8x + 9 = \ \ \big(x^4-4x^2\big)^2+\Big(\sqrt{3}x^2-\frac{6}{\sqrt{3}}x\Big)^2+\Big(\sqrt{2}x-\frac{4}{\sqrt{2}}\Big)^2+1 \\ = \big(x^2(x^2-4)\big)^2+3\big(x(x-2)\big)^2+2\big(x-2\big)^2+1>0 $$ Por lo tanto, $-1$ no puede ser el valor mínimo. Como ya se ha notado, es fácil observar que $f(2)=1$ y ya que usted sabe exactamente una respuesta es correcta (ver los comentarios en los OP), que debe ser la respuesta (d).

Answer 4

$f(x)=x^8 – 8x^6 + 19x^4 – 12x^3 + 14x^2 – 8x + 9$

$= x^4(x^4 - 8x^2 + 16) +19x^4 - 16x^4 - 12 x^3 + 14x^2 - 8x + 9$

$= x^4(x^2 - 4)^2 + 3x^2(x^2 - 4x + 4) + 14x^2 -12x^2 - 8x + 9$

$= x^4(x^2 - 4)^2 + 3x^2(x - 2)^2 + 2(x^2 - 4x + 4) + 1$

$= (x - 2)^2(x^4(x+2) + 3x^2 +2) + 1 \ge 1$ con la igualdad de la celebración de iff $x = 2$.