El espacio de cobertura está conectado por un camino si la acción de $\pi_1$ en una (única) fibra es transitiva

Question

Dejemos que $p\colon X\to Y$ sea un mapa de cobertura. Supongamos que $Y$ está conectada por un camino, localmente conectada por un camino y semilocalmente conectada. Sea $x,x'\in X$ sean dos puntos de $X$ .

$\textbf{Question:}$ ¿Es cierto que $\pi_1(Y,p(x))$ actúa transitoriamente sobre $p^{-1}(p(x))$ si y sólo si $\pi_1(Y,p(x'))$ actúa transitoriamente sobre $p^{-1}(p(x'))$ ?
De manera equivalente, es $X$ conectada a la trayectoria si existe alguna $x\in X$ tal que $\pi_1(Y,p(x))$ actúa transitoriamente sobre $p^{-1}(p(x))$ ?

Aquí está mi intento: Supongamos que $\pi_1(Y,p(x))$ actúa transitoriamente sobre $p^{-1}(p(x))$ . Sea $z'\in p^{-1}(p(x'))$ . Desde $Y$ está conectada por un camino, podemos elegir un camino $\gamma$ de $p(x')$ a $p(x)$ . El functor de monodromía induce entonces un mapa de conjuntos $\phi\colon p^{-1}(p(x'))\to p^{-1}(p(x))$ . Sea $z=\phi(z')$ . Entonces existe un bucle $\delta\in \pi_1(Y,p(x))$ y un punto $\tilde{x}\in p^{-1}(p(x))$ tal que el punto final de un ascensor $\tilde{\delta}$ de $\delta$ a partir de $\tilde{x}$ es igual a $z$ .
Ahora lo que me gustaría hacer es considerar algo así como la conjugación de $\delta$ con respecto a $\gamma$ y el levantamiento $\gamma$ a $\tilde{\gamma}$ y luego considerando la composición $(\tilde{\gamma})^{-1} \tilde{\delta}\tilde{\gamma}$ . Sin embargo, esto no tiene sentido en general ya que no sabemos $\tilde{\delta}(0)=\tilde{\gamma}(1)$ . Además, esta idea no parece utilizar mucho la relación entre $z$ y $z'$ , $\phi(z')=z$ .

$\textbf{Edit:}$ El mapa $\phi$ puede describirse de forma más explícita. Lo escribiré y veré si eso ayuda.

En la notación anterior $\phi(z')=z$ significa que existe un ascensor $\tilde{\gamma}$ de $\gamma$ a partir de $z'$ y terminando en $z$ . Podemos hacer algo similar con $\tilde{x}$ , digamos que $\psi(\tilde{x})=\tilde{z}$ y que $\epsilon$ sea la elevación utilizada, donde $\psi\colon p^{-1}(p(x)) \to p^{-1}(p(x'))$ es inducido por $\gamma^{-1}$ utilizando el functor de monodromía. Entonces $(\tilde{\gamma})^{-1}\tilde{\delta}\epsilon^{-1}=:\tilde{\omega}$ es el camino desde $\tilde{z}$ a $z'$ . Dejar $\omega=p\tilde{\omega}$ vemos que se trata de un bucle en $p(x')$ desde $\tilde{z},z' \in p^{-1}(p(x'))$ . Esto demuestra $[\omega].\tilde{z}=z'$ es decir $\pi_1(Y,p(x'))$ actúa transitoriamente sobre $p^{-1}(p(x')) $ .

$\textbf{Edit:}$ En realidad, esto no demuestra la transitividad. De hecho, tenía en mente una definición equivocada de transitividad al escribir lo anterior. Sin embargo, haciendo un planteamiento similar con la definición correcta se obtiene el resultado. He añadido una respuesta en la sección de respuestas.

Answer 1

Como mi edición en la pregunta no demuestra realmente que la acción es transitiva, aquí hay una prueba (espero que completa). La idea, sin embargo, sigue siendo la misma.

Supongamos que $\pi_1(Y,p(x))$ actúa transitoriamente sobre $p^{-1}(p(x))$ . Tenemos que demostrar que lo mismo es cierto para $x$ sustituido por $x'$ es decir, para cada par $x_1,x_2 \in p^{-1}(p(x'))$ necesitamos encontrar un bucle $\omega$ en $p(x')$ y un ascensor $\tilde{\omega}$ a partir de $x_1$ y terminando en $x_2$ .

Arreglar algún camino $\gamma\colon p(x')\to p(x)$ . El functor de monodromía induce un mapa $\phi\colon p^{-1}(p(x'))\to p^{-1}(p(x))$ . Sea $z_i=\phi(x_i)$ y que $\tilde{\gamma_i}$ denotan el levantamiento usado de $\gamma$ es decir $\tilde{\gamma_i}(0)=x_i$ y $\tilde{\gamma_i}(1)=z_i$ . Por supuesto, existe un bucle $\delta$ en $p(x)$ y una elevación $\tilde{\delta}\colon z_1\to z_2$ . Definición de $\tilde{\omega}:=(\tilde{\gamma_2})^{-1}\tilde{\delta}\tilde{\gamma_1}$ (esta es una ruta desde $x_1$ a $x_2$ ) y la configuración $\omega=p\tilde{\omega}$ se obtiene el resultado deseado.