Deje $\alpha,r\in\mathbb{R}$$r>0$$|\alpha|+r\le 1$, y considerar la fracción lineal de transformación $$ f(z) = \frac{z-\alpha}{1-\alpha z}. $$ Me gustaría mostrar el siguiente: el círculo en $C(\alpha,r)\subset\mathbb{C}$ centrada en $\alpha$ radio $r$ se transforma en un círculo de mayor radio por $f$.
Mi enfoque: tenga en cuenta que $f$ mapas de $[-1,1]$ a $[-1,1]$$f(-1)=-1$$f(1)=1$, y, en particular, se asigna el segmento de la línea de $[\alpha-r,\alpha+r]$ a algún segmento de la línea de $[f(\alpha-r),f(\alpha+r)]$ sobre la línea real. Además, el segmento de línea $[\alpha-r,\alpha+r]$ es perpendicular a la frontera de $C(\alpha,r)$ en los puntos de intersección $\alpha\pm r$, y desde la conformación de mapas de preservar los ángulos, la imagen del segmento de línea es también perpendicular a la frontera de $f(C(\alpha,r))$$f(\alpha\pm r)$. Por lo tanto, $[f(\alpha-r),f(\alpha+r)]$ es un diámetro de la imagen de $f(C(\alpha,r))$, y así si $r'$ es el radio de la $f(C(\alpha,r))$,$2r' = f(\alpha+r)-f(\alpha-r)$. Por lo tanto, hemos \begin{align} r' = \frac{1}{2}(f(\alpha+r)-f(\alpha-r)) &= \frac{1}{2}\left(\frac{\alpha+r-\alpha}{1-\alpha(\alpha+r)}-\frac{\alpha-r-\alpha}{1-\alpha(\alpha-r)}\right) \\ &=\frac{r}{2}\left(\frac{1}{1-\alpha^2-\alpha r}+\frac{1}{1-\alpha^2+\alpha r}\right) \\ &=r\left(\frac{(1-\alpha^2)}{(1-\alpha^2)^2-(\alpha r)^2}\right) \end{align} y por lo tanto $$\frac{r}{r'} = \frac{(1-\alpha^2)^2-(\alpha r)^2}{1-\alpha^2}\le\frac{(1-\alpha^2)^2}{1-\alpha^2}\le 1\implies r'\ge r.$$
Me gustaría saber si hay un enfoque más sencillo para demostrar que el radio aumenta (ya que ahora parece que sólo se álgebra magia), o si hay un no-riguroso, pero intuitivo explicación para este efecto. En particular, me pregunto si esto tiene algo que ver con hiperbólica distancias, dado que hiperbólico distancias son mayores con respecto a la Euclidiana cerca de la frontera de la unidad de disco y el más pequeño cerca del centro.
