Primero de todo, lo que usted llama "Reales, Hyperreals, Superreals y Surreals" son otro tipo de objetos. Los números reales forman un único campo de $\mathbb{R}$ (hasta el isomorfismo), hyperreal campos y superreal campos de formulario clases de no-isomorfo campos, y el surrealista números forman un único Campo de $No$ (hasta el isomorfismo), lo que significa que es una clase adecuada equipados con las operaciones y el orden que son también un buen clases (de manera informal, cosas demasiado grandes para ser conjuntos).
En segundo lugar, $\mathbb{R}$, $No$ y todos hyperreal campos y superreal campos son reales cerrado campos: los campos con el mismo primer fin de propiedades (de primer orden de las frases en el idioma de los anillos) como el campo de algebraïc los números reales. Y todos estos campos pueden ser ordenados en una forma única. La clase de bienes de campos cerrados, es muy rico, tiene el modelo theoritic propiedades, propiedades geométricas, theoritic propiedades, por supuesto algebraïc propiedades, y una interesante - y aún misterioso espectro de propiedades topológicas.
En tercer lugar, las propiedades importantes de los campos que no están dadas por el tipo de orden de sus elementos infinitesimales, y uno no puede necessarly identificar dos ordenado campos porque tienen isomorfo (por no hablar de manera informal comparables) estructuras de infinitesimals. Incluso me atrevería a decir que centrarse en sus tipos de infinitesimals es una mala manera de "entender".
Te podría decir que hay infinitesimals como $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...)$ en algunos hyperreal campos, como $\frac{1}{\omega_2}$ en el campo de la surrealista de números, pero no creo que sería mucho más que entretener.
-La orden de campo de los números reales es única hasta el isomorfismo como un campo que se satisface la menor cota Superior de la propiedad. Por supuesto, es el campo donde la mayor parte de los análisis se lleva a cabo, y la mayor parte de la continua matemáticas tiene lugar en estructuras cuyas definiciones implican $\mathbb{R}$ en algún punto crucial. También es el campo utilizado por los físicos.
$\mathbb{R}$ es de arquímedes, el significado de cada número real es menor que algunas natural entero, y es hasta el isomorfismo la única arquímedes ordenó campo sin el adecuado densa extensión, el único de Cauchy-completa arquímedes ordenó campo, el único de arquímedes ordenó campo de la satisfacción de las Anidada de la Propiedad Interval. (Creo que se puede encontrar en estos hechos y mucho más en el Análisis Real a la Inversa)
Muy importante, cada arquímedes ordenó campo incrusta en $\mathbb{R}$ en una manera única.
-Hyperreal campos propios de las extensiones de $\mathbb{R}$. Como tales, no están de arquímedes, por lo que hay elementos en cualquier hyperreal campo mayor que cualquier número entero positivo o menor de todos los números enteros negativos. Esos elementos son llamados infinitos elementos y sus inversos multiplicativos son llamados infinitesimals. También tienen una importante propiedad de que para cualquier contables o subconjuntos finitos $A,B$ tal que $A < B$, $x$ en el hyperreal campo wuch que $A < x$$x < B$. Hyperreal campos son interesantes porque de esta propiedad, y algunos de ellos pueden ser utilizados en el Análisis No Estándar o en el modelo de la teoría.
Usted puede encontrar la definición de una verdadera campo en la Wikipedia. No creo que definibles ejemplos son conocidos, así que le sugiero que busque en el más simple de ellos: ultrapowers de $\mathbb{R}$. (palabras clave: hyperreals, no estándar de análisis).
-Superreal campos también son extensiones adecuadas de $\mathbb{R}$. Son más general que hyperreal campos (y son extensiones de hyperreal campos), y también contienen infinitesimals. No sé cómo superreal campos se utilizan en las matemáticas.
-Finalmente, $No$ es el único ordenado de Campo (hasta el isomorfismo) tal que para cualesquiera subconjuntos $A,B$$No$$A < B$, hay un elemento $x$ $No$ tal que $A < x$$x < B$.
Es un hermoso inductivo de construcción por John Conway (otras hermosas construcciones que existen, ver Wikipedia), donde a menudo hay una forma de definir las extensiones naturales de las operaciones clásicas. También es universal en el sentido de que todos los pedidos de campo y todo un Campo cerrado incrustar en ella. Hay otros Campos de la satisfacción de este.
$No$ contiene en un modo de "todo tipo de infinitesimals"; pero esto sólo significa que sin embargo se incrusta una ordenó campo $k$ en que, va a estar contenida en los subcampos de $No$ con infinitesimals mucho menor que la de $k$. Sin embargo, no son adecuados, no isomorfo subcampos de $No$ con infinitesimals tan baja como la de $No$.
El hecho de que todos los pedidos de campo incrusta, que el ordinal monöid incrusta en $No$ combinado con el hecho de que uno puede definir interesante subcampos, mapas, subrings en $No$ lo hace tal vez un prometedor objeto de estudio.
Si $k$ es un orden de campo, siempre se puede crear una extensión adecuada $k(X)$ $k$ visto como el campo de fracciones con una indeterminada $X$ donde los elementos positivos son fracciones $F(X) = \frac{P(X)}{Q(X)}$ tal que $sign(P(X)) = sign(Q(X))$. Y $sign(\sum \limits_{i=0}^d x_iX^i) = sign(x_d)$.
Si haces eso con el campo de la surrealista números de $No$, se obtiene una extensión $No(X)$. $No(X)$ no es real cerrada para que no se incruste en $No$, y no se puede definir un verdadero cierre de $No(X)$, pero todavía se puede seguir y definir $No(X_1,X_2)$, y así sucesivamente...
$\mathbb{R}$ es útil en matemáticas debido, en gran parte (moderno) de las matemáticas el uso de $\mathbb{R}$ como un componente elemental para construir más objetos abstractos. Es también (y esto es historicaly importante) en el campo bueno para el modelo de espacio físico (aunque es muy probable que un ultrafinitist punto de vista sería más preciso, $\mathbb{R}$ es al menos una buena aproximación homogénea del espacio con cada teorema de existencia necesitamos). Son también la aritmética declaraciones acerca de $\mathbb{Q}$ más fácil de demostrar en $\mathbb{R}$ una vez que el general teoremas se han establecido: la densidad de $\{x^n \ | \ x \in \mathbb{Q}_+\}$$\mathbb{Q}_+$, por ejemplo.
He leído que hay algunos teoremas probados en IST (un ejemplo de la no-estándar de análisis) que aún no se han probado mediante el análisis periódico en ZFC.
Creo $No$ se encuentra todavía en una edad temprana de estudio (no es de cuarenta años de edad), no sé de cualquier aplicación de este estudio a otros ámbitos, incluso en el campo de la teoría (pero yo no soy omnisciente). Un poco de la aplicación de lo que he dicho al álgebra abstracta: el hecho de que no hay Campo que contiene $No(X)$ puede incrustar en $No$ combinado con la incorporación de la real Campo cerrado en $No$ demuestra que el verdadero cierre de un Campo (que es una clase adecuada) no tiene que existir. Puede haber una forma más fácil para ver esto, sin embargo.
