¿Qué es $\mbox{Aut}\left(\mathbb{Z}_{n}\right)$?

Question

Entiendo que $\mbox{Aut}\left(\mathbb{Z}_{n}\right)$ es el grupo de todos los automorfismos en la función de la composición, pero estoy un poco confundido acerca de la clase de grupo que forma. Si los elementos de este grupo son homomorphisms, entonces ¿cómo es $\mbox{Aut}\left(\mathbb{Z}_{n}\right)$ isomorfo a $\mbox{U}(n)$? No $\mbox{U}(n)$ contienen números de elementos, de tal manera que $(x,n)=1$ donde $x \in \mbox{U}(n)$? Como un ejemplo, alguien puede dejarme saber lo que los elementos estarían en $\mbox{Aut}\left(\mathbb{Z}_{10}\right)$?

Answer 1

Primero de todo, parece que están confundiendo a isomorfismo y la igualdad. Los elementos de la automorphism grupo son de hecho funciona, pero corresponden a la invertible elementos $\mathbb Z/n\mathbb Z^*$ en una manera muy específica en la que también conserva las estructuras de grupo.

Ahora, ¿por qué es $Aut(\mathbb Z/n\mathbb Z)\cong \mathbb Z/n\mathbb Z^*$? Recordemos que una de morfismos de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ está totalmente determinado por el lugar donde se envía a $1$, ya que el $k$ es simplemente la suma de $k$ copias de $1$. Por lo tanto, para un morfismos $$f:\mathbb Z/n\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z,$$ hay $n$ posibilidades de $f(1)$. Pero $f$ será invertible si y sólo si $f(1)$ es coprime a $n$ (żpor qué?).

---

Por ejemplo, si nos fijamos en el grupo $\mathbb Z/10\mathbb Z$, los automorfismos son dadas por \begin{align*} f_k:\mathbb Z/10\mathbb Z &\to \mathbb Z/10\mathbb Z\\ a &\mapsto ka, \end{align*} donde $\gcd(k,10)=1$. Desde los enteros coprime a 10 residuos modulo $10$ igual a $1,3,7,9$, llegamos a la conclusión de que $$Aut(\mathbb Z/10\mathbb Z)=\{f_1,f_3,f_7,f_9\}.$$

Answer 2

Supongo que usted con respecto a $\mathbb Z_n$ como un aditivo abelian grupo.

Los elementos de $\mathbb Z_{10}$ entonces $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Supongamos que multiplicar todo por $3$ conseguir $0,3,6,9,2,5,8,1,4,7$ (trabajamos modulo $10$). Tenga en cuenta que$3a+3b=3(a+b)$, por lo que tenemos un homomorphism. Y la lista explícita muestra que la homomorphism es un isomorfismo (kernel es trivial: inversa, se multiplican por $7$ si usted necesita para comprobar).

Si multiplicamos por $4$ todavía tenemos un homomorphism, pero la imagen es $0,4,8,2,6,0,4,8,2,6$, y si tratamos de $5$ obtenemos $0,5,0,5,0,5,0,5,0,5$.

Eso debería ser suficiente para ilustrar lo que está pasando aquí.