La probabilidad de la suma es aún

Question

Pregunta:

6 imparcial dados son lanzados juntos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de todos los dados es un número par?

Creo que la respuesta sería del 50%, puramente por la intuición. Sin embargo, no estoy seguro si esto es correcto. ¿Cómo hago para resolver este tipo de problema?

Answer 1

Aviso que todo lo que la suma de los 5 primeros rollos, si el resultado es par o impar está totalmente determinado por la última morir. Es par o impar, con igual probabilidad, por lo que la probabilidad de una suma es exactamente la misma que la probabilidad de un extraño suma.

Los primeros 5 dados no importa.

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Editar para formalizar el presente y abordar las inquietudes en los comentarios:

Declaración:

Deje $X_1,\ldots,X_n$ ser independiente, de valor entero variables aleatorias, y dejar que $X_k$ satisfacer $P(X_k \mbox{ odd}) = 0.5$. A continuación,$P(\sum X_i \mbox{ odd}) = 0.5$.

Prueba:

Sin pérdida de generalidad deje $k=n$, y deje $S = \sum_i^{n-1} X_i$. Desde $S$ $X_n$ son independientes de las variables aleatorias, $$ \begin{eqnarray*} P\left(\sum X_i \mbox{ odd}\right) = P(S + X_n \mbox{ odd}) &=& P(S \mbox{ odd and } X_n \mbox{ even}) + P(S \mbox { even and } X_n \mbox{ odd}) \\ &=& P(S \mbox{ odd})P(X_n \mbox{ even}) + P(S \mbox{ even})P(X_n \mbox{ odd}) \\ &=& P(S \mbox{ odd})P(X_n \mbox{ odd}) + P(S \mbox{ even})P(X_n \mbox{ odd}) \\ &=& \left(P(S \mbox{ odd}) + P(S \mbox{ even})\right)P(X_n \mbox{ odd}) \\ &=& P(X_n \mbox{ odd}) \\ &=& 0.5 \end{eqnarray*} $$

Answer 2

La única cosa acerca de los números de laminado que importa es su paridad - si son pares o impares. Con el fin de obtener una suma, un número de los seis dados debe ser par. Con el fin de obtener un extraño suma, un número impar de los seis dados debe ser par.

El uso O por extraños y E incluso, podemos enumerar las posibilidades.

Incluso la suma:

• OOOOOO $$\binom{6}{6}=1 \text{ arrangement}$$
• OOOOEE $$\binom{6}{4}=15 \text{ arrangements}$$
• OOEEEE $$\binom{6}{2}=15 \text{ arrangements}$$
• EEEEEE $$\binom{6}{0}=1 \text{ arrangement}$$

Esto da un total de $32$ arreglos, incluso con la suma.

Desde allí se $2^6 = 64$ total de posibilidades, vemos que su intuición de $50\%$ es correcta.

Answer 3

La generación de la función de enfoque:

$$P(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^6=\sum a_i x^i$$

A continuación, $a_i$ cuenta el número de maneras de obtener un total de $i+6$ $6$ dados.

Ahora, para encontrar las condiciones, usted puede calcular el $$\frac{P(1)+P(-1)}{2}=\sum_i a_{2i}.$$

Pero $P(1)=6^6$$P(-1)=0$. Por lo $$\frac{P(1)+P(-1)}{2}=\frac{6^6}{2},$$ o exactamente la mitad, como usted cree.

Para otro ejemplo, vamos a $N_{i}$ el número de maneras de rodar $6$ dados y obtener un valor de $\equiv i\pmod{5}$. Entonces resulta que si $z$ es una primitiva $5$th raíz de la unidad, el valor puede ser contado por definición:

$$Q_i(x)=x^{6-i}(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^6$$ luego de computación $$N_i=\frac{Q_i(1)+Q_i(z)+Q_i(z^2)+Q_i(z^3)+Q_i(z^4)}{5}$$

Esto da el resultado:

$$N_i =\begin{cases}\frac{6^6+4}{5}&i\equiv 1\pmod 5\\ \frac{6^6-1}{5}&\text{otherwise} \end{casos}$$

Más generalmente, si $N_{n,i}$ es el número de maneras de conseguir $\equiv i\pmod 5$ al $n$ dados son lanzados, se obtiene:

$$N_{n,i} =\begin{cases}\frac{6^n+4}{5}&i\equiv n\pmod 5\\ \frac{6^n-1}{5}&\text{otherwise} \end{casos}$$

Es así de simple, porque el hecho de que $6=5+1$.

Si cada uno de los troqueles ha $d$ lados, y la pregunta de cuál es el número de maneras de obtener un total $\equiv i\pmod {d-1}$, entonces se obtiene:

$$N_{d,n,i} =\begin{cases}\frac{d^n+{d-2}}{d-1}=\frac{d^n-1}{d-1}+1&i\equiv n\pmod {d-1}\\ \frac{d^n-1}{d-1}&\text{otherwise} \end{casos}$$

Answer 4

Utilizando la misma lógica dada por @Eric tessler, pero la escritura de las matemáticas detrás de él.

Deje $P_x$ = obtener una suma en el rollo de x dados y

$1 - P_x$ = Obtenemos un extraño suma.

Por lo que requieren $P_6$

Ahora $P_6 = P_5 \times $ P[número par en el último dados] + $(1 - P_5) \times$ P[número impar en el último dados]

$P_6 = P_5 \times 0.5 + (1-P_5) \times 0.5 $

$P_6 = 0.5 $

Answer 5

Un montón de muy informativo respuestas, pero ninguno de ellos no explicar su intuición, así que voy a publicar el mío.

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Hay una simetría entre todos los lanzamientos con extraño suma y los que tienen suma: acaba de tomar el número de $k$ en el primer dado y reemplazarlo con $7-k$.

Así que los números impares lanzamientos e incluso arroja son iguales, por lo tanto, la probabilidad es $1/2$.