Hay un error en la teoría de la fracción de cálculo?

Question

Vamos a hablar de la función de $f(x)=x^n$.

Es derivado de $k^{th}$ orden puede ser expresada por la fórmula: $$\frac{d^k}{dx^k}x^n=\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$$ Del mismo modo, el $k^{th}$ integral (integral operador aplica $k$ veces) puede ser expresado como: $$\frac{n!}{(n+k)!}x^{n+k}$$ Según el artículo de la Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculuspodemos reemplazar el factorial con la función Gamma para obtener derivados de la fracción de orden.

Así, aplicando la derivada de la mitad de la orden dos veces a $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, debe llevarnos a $x^n$.

La aplicación de la mitad-ordenó derivado de una vez da: $$\frac{d^{1/2}}{{dx^{1/2}}}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}+Cx^0\right)=\frac{1}{n+1}\frac{\Pi(n+1)}{\Pi(n+1/2)}x^{n+1/2}+C\frac{1}{\Pi(-1/2)}x^{-1/2}$$ donde $\Pi(x)$ es la generalización de la función factorial, y $\Pi(x)=\Gamma(1+x)$

De nuevo, aplicando la mitad-ordenó derivados de: $$\frac{1}{n+1}\frac{\Pi(n+1)}{\Pi(n)}x^n+\frac{C}{\Pi(-1)}x^{-1}=x^n$$ que funciona bien porque $\frac{C}{\Pi(-1)}\rightarrow 0$. Así, la derivada funciona bien, pero ese no es el caso con fracciones-ordenó la integración.

La aplicación de la mitad-ordenó integral operador dos veces a $x^n$ nos debe de dar $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$. La aplicación de la mitad-ordenó integral de una vez, significa encontrar una función cuya mitad-ordenó derivada es $x^n$. Así, aplicando para ello una vez que se obtiene: $$\frac{\Pi(n)}{\Pi{(n+1/2)}}x^{n+1/2}+C\frac{1}{\Pi(-1/2)}x^{-1/2}$$

De nuevo, aplicando la mitad ordenó la derivada de esta función debe dar una función cuya mitad-ordenó derivado de esta función. Así que, de nuevo aplicando la mitad integral operador da: $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C+C'\frac{1}{\Pi(-1/2)}x^{-1/2}\neq \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ donde $C'$ es otra constante. Así que, ¿por qué este término adicional que contenga $C'$ haz que te presenten? Es la teoría de la fracción de los derivados de defectos? Es allí cualquier manera de obtener una sola constante $C$ en la final por la aplicación de la semi-integral operador dos veces?

Answer 1

Me enteré de la existencia de fracciones de cálculo de este muy recomendable sitio.

En "entero" cálculo diferencial no se recupera la función.

Si $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$ Y la integración de $\int nx^{n-1}=x^n+\mathbf C$, Incluso a pesar de que inicialmente habíamos $f(x)=x^n+C'$, podemos hacer los cálculos pero recuperarse $f(x)=x^n+C$, pero sin ninguna indicación acerca de si o no $C$ $C'$ son los mismos.

Mi razonamiento parece el "tu quoque" falacia, pero no lo es, simplemente se dice que fraccional de cálculo tienen los mismos problemas que "entero" cálculo tiene. Tal vez la solución es la misma.

Se puede poner más dramáticamente por medio de otro ejemplo, esta casi parafraseando a la suya: derivar dos veces este $f(x)=x^3+1$. $f''(x)=6x$, vuelta atrás tenemos, $f'(x)=3x^2+C$, primera y ahora, $f(x)=x^3+Cx+C_1$

En "entero" cálculo podemos solucionar esto establecerá la cosa más importante es el teorema fundamental del cálculo. En ella, el resultado es independiente de la primitiva elegido. Tal vez podamos tener el mismo para las fracciones de cálculo. Puedo imaginar a hacer esto por el "método" de poner "a mano" las condiciones de frontera para recuperar la función, en la manera en que utilizamos las condiciones de contorno en ecuaciones diferenciales. Así es, yo no creo que tengamos para las fracciones de cálculo el buen notación de la integral de los símbolos de la oferta, pero los límites de integración son: los límites o condiciones iniciales para recuperar la solución. Me gustaría hacer esto:

$$f(x)=\frac{d^{-1/2}}{{dx^{-1/2}}}\left(\frac{\Pi(n)}{\Pi{(n+1/2)}}x^{n+1/2}+C\frac{1}{\Pi(-1/2)}x^{-1/2}\right)=$$

$$=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C+C'\frac{1}{\Pi(-1/2)}x^{-1/2}\;\mathrm {with}\;f(0)=C\implies$$

$$f(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Y, de hecho, que también lo hizo sin previo aviso!! Si no, ¿cómo poner $C$ en la primera mitad "integral"? el más general de "la mitad de lo primitivo" es:

$$\frac{d^{-1/2}}{{dx^{-1/2}}}x^n=\frac{\Pi(n)}{\Pi{(n+1/2)}}x^{n+1/2}+\mathbf A\frac{1}{\Pi(-1/2)}x^{-1/2}$$

Así, es, de un "medio primitivo" con algunas constantes $A$ a determinar. Usted imponer alguna condición en la mitad "primitivo" para obtener la función original con $C$, el original de la constante (en este caso, la condición es implícito y trivial de la relación)

Answer 2

Una manera de lidiar con estas constantes es cambiar de indefinida de la integración definitiva de la integración. Por ejemplo, la de Riemann-Liouville integral puede ser utilizado:

$$D^{-\alpha}_af(x)=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_a^xf(t)(x-t)^{\alpha-1}\ dt$$

Ahora nuestro constante de integración es controlado por $a$, y existe algo de $a$ tal que

$$D^{-1}_a\frac d{dx}f(x)=f(x)$$