Difícil probabilidad de elección de bola de la bolsa con $7$ bolas de etiquetado de $1-7$

Question

Esta es una palabra muy interesante problema que me encontré en un viejo libro de texto de la mina. Así que yo sé que tienen algo que ver con la probabilidad, que tal vez los rendimientos de la más corta, la más simple de las pruebas, pero aparte de eso, el libro de texto no dio pistas realmente y realmente no estoy seguro acerca de cómo acercarse a él. Cualquier guía de sugerencias o ayuda sería verdaderamente apreciada. Gracias de antemano :) Así que de todos modos, aquí va el problema:

Una bolsa contiene siete bolas numeradas del $1$$7$. Una pelota es elegido al azar y su número es de señalar. La pelota se devuelve a la bolsa. Esto se hace con un total de siete veces.

$(a)$ ¿Cuál es la probabilidad de que se selecciona cada pelota exactamente una vez?

$(b)$ ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una bola no está seleccionada?

$(c)$ ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las bolas no está seleccionada?

Mis pensamientos:

$(a)\, \left(\frac 17\right)^7=\frac{1}{823543}$

$(b) \, 1 - \frac{1}{823543}?$

$(c)$ Ninguna idea sobre esto. Mis dolores de cabeza después de sólo pensarlo.

Answer 1

1. Hay $7!$ formas de recoger $7$ diferentes bolas (en orden), y $7^7$ formas de recoger $7$ con posible repetición (en este orden). Así que la respuesta a la primera pregunta es $\dfrac{7!}{7^7}$.
2. Este es el complemento de la primera, así que la respuesta es $1 - \dfrac{7!}{7^7}$.
3. Hay $7$ formas de elección de la pelota de uno que no se incluyen en la selección. Ya que debe incluir todos los otros seis bolas, y tenemos que escoger un total de siete, nuestra selección final constará de siete bolas con exactamente uno repetido. De nuevo, hay $6$ formas de elección de la pelota que se va a repetir. También, hay $\dfrac{7!}{2}$ formas de organización de estos siete bolas (en este orden). Por lo tanto, el numerador es $7 \times 6 \times 7!/2$, y el denominador, como antes, es $7^7$. Por lo tanto, la respuesta final es $\dfrac{7 \times 6 \times 7!}{2 \times 7^7} = \dfrac{3 \times 6!}{7^5}$.

Answer 2

¿Cuál es la probabilidad de que se selecciona cada pelota exactamente una vez?

$$\frac{7!}{7^7}$$

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una bola no está seleccionada?

$$1-\frac{7!}{7^7}$$

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de bolas no es seleccionado?

$$\frac{\binom{7}{6}\cdot\binom{6}{1}\cdot\frac{7!}{1!\cdot1!\cdot1!\cdot1!\cdot1!\cdot2!}}{7^7}$$

Answer 3

(a) - necesita la probabilidad en cada paso de la siguiente bola de ninguno de hte anterior bolas. Sólo cuando llegue a la última bola es que tan pequeño como $\frac 17$.

$$ 1.\frac 67.\frac 57.\frac 47.\frac 37.\frac 27.\frac 17 = \frac{7!}{7^7} \approx 0.00612$$

(b) Como puede deducir correctamente, esto es $1-$ el resultado anterior. $$1-0.00612 = 0.99888$$

(c) Este se manejan mejor con un poco más de estructura. Obviamente hay $7$ opciones para que la pelota se perdió, por lo que la probabilidad es $7$ veces la probabilidad de que sólo (decir) de la bola de $\#1$ es perdido. Entonces, si la bola de a $\#1$ es perdido, una de las otras bolas es duplicar - ahora el total de la probabilidad se multiplica por 6 en el caso específico de "bola de $\#1$ es perdido, bola de $\#2$ se duplica". Ahora necesitamos los distintos arreglos de $\{2234567\}$,$\frac {7!}{2!}$. Total de acuerdos para la pelota de uno que falta es: $$ 7 \times 6 \times \frac {7!}{2!} = 105840$$ que luego pueden ser comparados con los de la selección del universo de $7^7 = 823543$ t dan una probabilidad de $$ \frac {105840}{823543} \approx 0.128518 $$

Answer 4

Ad (a): Usted ha calculado la probabilidad de que un orden específico seleccionado. Pero hay $7!$ órdenes posibles.

Ad (b): tiene Usted derecho a usar el recíproco de la probabilidad. Sólo utilizar la pista para (un).

Ad (c): El resultado de la selección de bolas parecen $AABCDEF$. Se puede organizar en $\frac{7!}{2!}=21$ maneras. $AA$ $one$ $seven$ . Dado $AA$, $BCDEF$ tiene que ser$five $$six$. En total, la probabilidad es $\frac{7!\cdot 7\cdot 6}{2!\cdot 7^7}=\frac{3\cdot 6!}{7^5}\approx 12.85\%$

Answer 5

una. Cada vez que elija a uno de los siete bolas, por lo que hay un total $7^7$ maneras de hacerlo. Si se selecciona cada pelota exactamente, es equivalente a permutating los números de $\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Por ejemplo, si la permutación es $\{1,3,5,4,2,7,6\}$, entonces la bola marcados por $'1'$ es seleccionado en el primer tiempo, la pelota marcados por $'3'$ es seleccionado en el segundo tiempo, $\dots$, la pelota marcados por $'6'$ es seleccionado en el último tiempo. Por lo tanto, hay $7!$ formas tales que se selecciona cada pelota exactamente una vez. La probabilidad es

$$\frac{7!}{7^7}=\frac{720}{117649}.$$

b. Usted tiene la idea correcta.

$$1-\frac{7!}{7^7}=\frac{116929}{117649}.$$

c. Asumir el balón $'1'$ no está seleccionada, cada una de las seis bolas $'2','3','4','5','6','7'$ es seleccionado durante el siete veces. Por lo tanto, exactamente uno de ellos se seleccionan dos veces y el resto son seleccionadas exactamente una vez. Si el balón $'2'$ es seleccionado dos veces, entonces es equivalente a una permutación de $\{2,2,3,4,5,6,7\}$. Hay $\frac{7!}{2}$ maneras de hacerlo. (Dividimos $7!$ $2$ debido a que hay dos $'2'$ aquí para cada uno de permeación si pasamos los dos $'2'$, la permutación es todavía el mismo.) Las situaciones son las mismas para el balón $'i'$ no está seleccionado y el balón $'j'$ es seleccionado dos veces.( $1\leqslant i,j\leqslant 7$ $i\neq j$ ). Por lo tanto, hay un total $7\times 6\times \frac{7!}{2}$ maneras de hacerlo

$$\frac{7\times 6\times \frac{7!}{2}}{7^7}=\frac{2160}{16807}.$$