Comprobar si el espacio métrico $X$ contiene conectado a un subconjunto denso, a continuación, $X$ está conectado.

Question

Estoy intentando resolver la siguiente pregunta.

P. Supongamos que un espacio métrico $X$ contiene conectado a un subconjunto denso $A$. Mostrar que $X$ está conectado.

Aquí está mi intento de solución:

A. suponemos que, al contrario, $X$ no está conectado, es decir, deje $X=U \cup V$ donde $U$ $V$ son dos distintos, no vacío, abierto conjuntos. Desde $A$ es densa, tenemos que $cl(A)=U \cup V$ y desde $X$ es un espacio métrico, a continuación, $A \subseteq U \cup V$...

Aquí es donde me quedo atascado. Me gustaría mostrar que $A$ no es densa, pero no estoy realmente seguro de a dónde ir desde aquí. Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Empezar con $X=U\cup V$ con distinto abrir conjuntos de $U,V$. Por supuesto, también se $A\subseteq U\cup V$ y la conexión de los $A$ implica que uno de $A\cap U$, $A\cap V$ está vacío. Denso, $A$ cruza cada conjunto abierto no vacío. Por lo tanto, uno de los $U, V$ está vacía.

Answer 2

En general, se puede demostrar que si $A$ está conectado, por lo que es $\overline A$.

De hecho, $A$ está conectado iff cada función continua $\eta:A\to 2$ es constante. Ahora, considere la posibilidad de una función continua $\eta:\overline A\to 2$. Desde el codominio es Hausdorff, $f$ está determinado por un subconjunto denso de $\overline A$. Desde $\eta\mid A$ es constante, por lo tanto así es $\eta$. Por lo tanto $\overline A$ está conectado.