La pregunta completa se da esencialmente en el título: Para $ n $ un número entero positivo, ¿la secuencia $ x_n = \sqrt[n]{\left\lvert \sin(2^n) \right\rvert} $ tienen un límite como $ n \to \infty $ ?
Antecedentes: Una de las preguntas de una reciente tanda de deberes que marqué consistía en investigar la convergencia o divergencia de la serie infinita $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2^n)}{2^n} \, . $$ Obviamente, esta serie converge absolutamente por comparación ya que $$ \left\lvert \frac{\sin(2^n)}{2^n} \right\rvert \leq \frac{1}{2^n} \, , $$ y $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $ es una serie geométrica convergente, con relación común $ r = \frac{1}{2} $ . Esta es la solución proporcionada en la hoja de soluciones, y esencialmente la forma en que la mayoría de la gente resolvió la pregunta.
Sin embargo, un script intentó utilizar la prueba de la raíz para determinar si la serie convergía o no. Así, dejemos que $ a_n = \frac{\sin(2^n)}{2^n} $ entonces hay que determinar el límite como $ n \to \infty $ de $$ \sqrt[n]{\left\lvert a_n \right\rvert} = \sqrt[n]{\left\lvert \frac{\sin(2^n)}{2^n} \right\rvert} = \frac{1}{2} \sqrt[n]{ \left\lvert \sin(2^n) \right\rvert } \, , $$ lo que me lleva a la pregunta del título. ¿La secuencia $ x_n = \sqrt[n]{ \left\rvert \sin(2^n) \right\rvert } $ ¿tiene un límite, o no?
No puedo convencerme de si esta secuencia tiene un límite o no. Dado que hay un mucho mejor manera de determinar la convergencia de la serie infinita dada, no merecía la pena dedicar demasiado tiempo a averiguar si esta solución funcionaba o no. Pero sigo teniendo curiosidad, así que ¿alguien puede resolverme esta cuestión, en un sentido o en otro?
Pensamientos: Si fuera $ f(x) = \sqrt[x]{ \left\lvert \sin(2^x) \right\rvert } $ con $ x > 0 $ Entonces puedo ver fácilmente $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ no existe. Sólo hay que ver las subsecuencias $ f(\log_2(n\pi)) = 0 $ y $ f(\log_2(n\pi + \frac{1}{2}\pi)) = 1 $ que tienen límites $ 0 $ y $ 1 $ respectivamente, como $ n \to \infty $ .
Restringir a $ x_n = f(n) $ , $ n $ un número entero positivo, parece una pregunta mucho más difícil. Mi reacción instintiva es decir $ \sin(2^n) $ es una secuencia tan "caótica"/de mal comportamiento, que $ x_n $ no puede tener un límite. Pero esto no es ni de lejos una prueba, y no puedo justificarlo mejor que esto. Por otro lado, algunos cálculos numéricos con Maple sugieren la secuencia puede se está acercando al límite $ 1 $ .
Supongo que la cuestión de si esta secuencia tiene un límite está fuertemente ligada a cuán cerca $ 2^n $ llega a un múltiplo racional de $ \pi $ , lo que nos sitúa en el ámbito de la aproximación diofantina (de la que sé poco). Más concretamente, ¿qué límites en términos de $ n $ se puede poner en la diferencia $ \left\lvert 2^n - b \pi \right\rvert $ . En este sentido, me han dicho que la función $ \sin(2^n) $ es denso en $ [0,1] $ y que esto es no evidente. Pero por sí mismo no creo que esto sea suficiente para concluir en un sentido u otro. Heurísticamente: dependiendo de cuán pronto $ \sin(2^n) $ se acerca a 0, el $ n $ -La raíz de la palabra puede ser suficiente para forzarla a acercarse a 1 de todos modos.
