Se puede demostrar que el conjunto $A = \left\{ {p:{p^2} < 3,\, p \in {\Bbb Q^+}} \right\}$ no tiene ningún elemento mayor (véase este ). De esto es fácil concluir que el conjunto $E = \{x\in\mathbb{Q}: 2 < x^2 < 3\}$ tampoco contiene un elemento mayor.
Recordemos que los subconjuntos cerrados de los espacios compactos son también compactos.
Utilizamos lo anterior en las dos soluciones siguientes. Nótese que estas demostraciones no requieren la construcción de los números reales ni el hecho de que la compacidad en un espacio métrico es equivalente a ser secuencialmente compacto.
Solución 1:
Enumerar todos los elementos del conjunto contable $E$ con una secuencia $(p_k)_{\, k \in \mathbb N}$ . Definir conjuntos cerrados en $\mathbb{Q}$ de la siguiente manera:
$\tag 1 I_n = [max(p_1,p_2,\dots,p_n), +\infty) \; \bigcap \; E$
La secuencia de conjuntos cerrados no vacíos $I_n$ es una cadena decreciente $A_{n+1} \subset A_n$ . Si asumimos que $E$ es compacto, entonces podemos aplicar Teorema de la intersección de Cantor y concluir que la intersección de todas las $I_n$ debe ser no vacío. Pero por diseño no $p_j$ puede estar en esta intersección (ningún elemento mayor), una contradicción.
Solución 2:
Definimos $r_1 = 1.7$ para que $r_1 \in E$ . Definimos recursivamente
$\tag 2 r_{n+1} = r_n + d \, 10^{-(n+1)} \text{, } d \in \{0,1,\dots,9\} \text{ largest digit | } r_{n+1} \in E$
Definir conjuntos cerrados en $\mathbb{Q}$ de la siguiente manera:
$\tag 3 I_n = [r_n, +\infty) \; \bigcap \; E$
La secuencia de conjuntos cerrados no vacíos $I_n$ es una cadena decreciente $A_{n+1} \subset A_n$ . Si asumimos que $E$ es compacto, entonces podemos aplicar Teorema de la intersección de Cantor y concluir que la intersección de todas las $I_n$ debe ser no vacío. Pero si $q$ es cualquier punto en $E$ es fácil ver que algunos $r_m$ debe ser mayor que $q$ , lo que lleva a una contradicción.
