¿Cuál es la derivación de esta fórmula integral?

Question

Yo estaba buscando en la web alguna información acerca de las integrales, y me encontré con la fórmula:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\ln(x^2)e^{\frac{-x^2}{2\sigma}}}{(2\pi)^\frac{1}{2}\sigma}dx= \ln(\sigma^2)-\gamma-\ln(2)$$

$\gamma =$ de Euler-Mascheroni Constante

Estoy muy seguro de donde Euler-Mascheroni constante de vino. Traté de reorganización de la integral a términos más simples, pero me acaban de obtener:

$$\int_{-\infty}^\infty \ln|x|e^{-x^2}dx$$

que no es abiertamente integrable. ¿De dónde viene esta fórmula?

Answer 1

Tiro fuera innecesaria constantes y puesto que el integrando es par, el problema se reduce a evaluar: $$I=\int_0^\infty \ln(x^2) e^{-ax^2} dx$$

Hacer cumplir la subsitution $x=(u/a)^{1/2}$ da $$I = \frac{1}{2\sqrt{a}} \left[\int_0^\infty u^{-1/2} e^{-u}\ln u \, du - \ln a \int_0^\infty u^{-1/2}e^{-u}\ du \right]$$

La primera integral es sólo $\Gamma'(1/2)=\sqrt{\pi}(-\gamma-2\ln 2)$, la segunda integral es $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.