Deje $\ell^\infty = \left\{ (x_n)_{n\ge 0} : \sup_n |x_n| < \infty \right\}$ ser el espacio de secuencias delimitadas $\mathbb{C}$.
Equipado con sup-norma $\|x\|_\infty = \sup_n|x_n|$, es un espacio de Banach. Deje $B(\ell^\infty)$ ser la colección de limitada lineal de operadores en $\ell^\infty$. Equipada con operador de la norma, es un álgebra de Banach. Vamos a utilizar estos datos para justificar las operaciones algebraicas a continuación.
Deje $\epsilon \in \ell^\infty$ ser la secuencia de $\left( \frac{1}{n!} \right)_{n\ge 0}$.
Definir un operador lineal $L$ $\ell^\infty$ por el cambio de las entradas de una secuencia a la izquierda. Más precisamente,
$$\ell^\infty \ni x = (x_0,x_1,\ldots) \quad\mapsto\quad Lx = (x_1,x_2,\ldots) \in \ell^\infty$$
Es fácil ver $L \in B(\ell^\infty)$ con el operador de la norma $\|L\| = 1$.
Para cualquier $x \in ( 0, 4 )$, vamos a $a = \sqrt{\frac1x - \frac14} > 0$
y $\mu = x \left(\frac12 + a i\right)$.
Considere la siguiente secuencia:
$$s(x) = (s_0(x),s_1(x),\ldots)\quad\text{ donde }\quad
s_\ell(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n \left[\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{(n+k+\ell)!}\a la derecha]$$
En términos de$L$$\epsilon$, se puede expresar formalmente $s(x)$
$$s(x)
= \sum_{n=0}^\infty x^n \left[\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} L^k \right] L^n \epsilon
= \sum_{n=0}^\infty (xL(1-L))^n \epsilon\etiqueta{*1}
$$
Al $|x| < \frac12$, tenemos
$$\| xL(1-L) \| \le |x|\|L\| + |x|\|L\|^2 \le 2|x| < 1
$$
y la expansión de RHS de $(*1)$ converge. Esto significa que para $x \in (0,\frac12)$, $s(x)$ es igual a
$$\begin{align}
s(x) = (s_0(x),s_1(x),\ldots)
&= \frac{1}{1 - xL(1-L)} \epsilon
= \frac1x \frac{1}{\left(L - \frac12\right)^2 + a^2} \epsilon\\
&= \frac{i}{2ax}\left[\frac{1}{L - \frac12 + a i} - \frac{1}{L - \frac12 - ai}\right]
\epsilon\\
&= \frac{1}{2axi}\left[\frac{\mu}{1 - \mu L} - \frac{\bar{\mu}}{1 - \bar{\mu}L}\right]
\end{align}
\etiqueta{*2}
$$
Por favor, tenga en cuenta que cuando $x \in (0,\frac12)$, $|\mu| = \sqrt{x}< 1$ y los dos inversos en la última línea están bien definidos.
Para cualquier $f = (f_0,f_1,\ldots) \in \ell^\infty$, vamos a $f(z)$ ser el poder de la serie de $\sum_{\ell=0}^\infty f_\ell z^\ell$.
Desde $\|f\|_\infty < \infty$, $f(z)$ converge para $|z| < 1$.
En particular, se ha $\epsilon(z) = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{z^\ell}{\ell!} = e^z$.
Deje $g = \frac{1}{1 - \mu L}\epsilon = \sum_{k=0}^\infty \mu^{k}L^k \epsilon$.
La correspondiente función de $g(z)$ es igual a
$$g(z) = \sum_{k=0}^\infty\sum_{\ell=0}^\infty
\frac{\mu^k z^\ell}{(k+\ell)!}
=
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\a la izquierda(
\frac{z^{n+1} - \mu^{n+1}}{z - \mu}\right)
= \frac{ze^z -\mu e^{\mu}}{z-\mu}
$$
Mediante la comparación de los coeficientes de $z^0$ en ambos lados, obtenemos
$$\frac{1}{1-\mu L}\epsilon = (e^{\mu},\ldots)$$
Por un argumento similar, tenemos
$$\frac{1}{1-\bar{\mu} L}\epsilon = (e^{\bar{\mu}},\ldots)$$
Sustituir estas en $(*2)$, se encuentra que para $x \in (0,\frac12)$
$$\begin{align}s_0(x)
&= \frac{1}{2axi}\left(\mu e^{\mu} - \bar{\mu}e^{\bar{\mu}}\right)
= e^{\frac{x}{2}}\left[\cos(xa) + \frac{\sin(xa)}{2a}\right]
\\
&=
e^{\frac{x}{2}}\left[
\cos\left(\frac12\sqrt{x(4-x)}\right)
+ \sqrt{\frac{x}{4-x}}\sin\left(\frac12\sqrt{x(4-x)}\right)
\right]
\end{align}
$$
El lado derecho de la expresión anterior, se define una función analítica cerca del origen. Desde la singularidad más cercano al origen se encuentra en $x = 4$, podemos analítica continuar por encima de expresión a todos los $x \in \mathbb{C}$$|x| < 4$.
En particular, en $x = 2$, esto se reduce a la suma en la mano:
$$\sum_{n=0}^\infty 2^n \left[\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{(n+k)!}\a la derecha] = s_0(2) = e(\cos(1) +\sin (1))
\aprox 3.756049227094727
$$
