¿Cómo puedo solucionar $xy'= x^2+y^2$?

Question

Tengo:

$$xy'= x^2+y^2$$

Traté de variables independientes, pero no funcionó, comprueba si pudiera ser homogénea de la ecuación, pero no es (obiviously), todos mis transformaciones no me dan ecuación lineal, así que no tengo ni idea de cómo acercarse a él ahora :(

Answer 1

Es una ecuación de Riccati.

Deje $v=\frac y x$. A continuación, $v$ satisface la ecuación de $$v' = v^2 -\frac v x +1$$

Sustituyendo $v = \frac{-u'}{u}$, $u$ satisface: $$ u" + \frac{u}{x} +u=0 $$

Por resolución de esta, la cual es una ecuación de Bessel , aunque, entonces, vamos a tener que $y = \frac{-u'}{ux}$ satisface la ecuación inicial.

La ecuación de Bessel $x^2u'' +xu'+x^2u=0$, tiene como soluciones de las funciones de Bessel.