Es cierto

Question

¿Es cierto que la traza de una integración de matriz es igual a la integración de la traza de dicha matriz?

ps

Answer 1

\begin{align} \operatorname{tr} \int \begin{bmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{bmatrix} \, dt & = \operatorname{tr} \begin{bmatrix} \int a_{11}(t)\,dt & \cdots & \int a_{1n}(t) \,dt \\ \vdots & & \vdots \\ \int a_{n1}(t) \, dt & \cdots & \int a_{nn}(t)\,dt \end{bmatrix} \tag 1 \\[10] & = \int a_{11}(t)\,dt + \cdots + \int a_{nn}(t)\,dt \tag 2 \\[10] & = \int \Big(a_{11}(t) + \cdots + a_{nn}(t)\Big) \, dt \etiqueta 3 \\[10] & = \int\operatorname{tr} \begin{bmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{bmatrix} \, dt. \etiqueta 4 \end{align} La línea $(1)$ hace una suposición sobre lo que es una integral de una matriz de valores de la función.

La línea $(2)$ utiliza la definición de "seguimiento".

La línea$(3)$ utiliza la linealidad de la integral.

La línea $(4)$ utiliza la definición de "seguimiento".

Answer 2

Si la integración se define de las componentes, es verdad -- la integral es el límite de una suma de matrices, y la traza de una suma es la suma de las huellas. Se puede pasar al límite porque el seguimiento es también continua.