La inducción de la prueba: $2^n + 3^n ≡ 5^n (mod 6)$

Question

Estoy tratando de demostrar que $2^n + 3^n ≡ 5^n\ (mod\ 6)$ el uso de la inducción.

$n=1$:
$2+3≡5\ (mod\ 6)$

$n=k$:
$2^k + 3^k ≡ 5^k\ (mod\ 6)$

$n=k+1$:
$2^{k+1} + 3^{k+1} ≡ 5^{k+1}\ (mod\ 6)$
$2*2^k + 3*3^k ≡ 5*5^k\ (mod\ 6)$
$6\ |\ 5*5^k - 2*2^k - 3*3^k$
$6\ |\ (2+3)*5^k - 2*2^k - 3*3^k$
$6\ |\ 2*5^k + 3*5^k - 2*2^k - 3*3^k$
$6\ |\ 2*(5^k - 2^k) + 3*(5^k - 3^k)$

No muy seguro de si voy en la dirección correcta o a dónde ir desde aquí...

Answer 1

Una vez que se compruebe $n=1$, se desea mostrar: para $k\geq 1$, $$ 2^k + 3^k ≡ 5^k\pmod{6}\quad\text{implica}\quad 2^{k+1} + 3^{k+1} ≡ 5^{k+1}\pmod{6}. $$ A fin de comenzar con $2^k + 3^k ≡ 5^k\pmod{6}$. Esto implica que podemos escribir de $5^k=2^k+3^k-6m $ for some integer $m$. Partiendo de aquí, tenemos \begin{align*} 5^{k+1}=5(2^k+3^k-6m)&=2^{k+1}+3\cdot2^k+3^{k+1}+2\cdot 3^k-30m\\ &=2^{k+1}+3^{k+1}+6(2^{k-1}+3^{k-1}-5m) \end{align*} que de hecho implica la $2^{k+1} + 3^{k+1} ≡ 5^{k+1}\pmod{6}$.

Answer 2

Para hacer el inductivo caso:

$5^k \equiv 2^k + 3^k \mod 6$ es cierto. Así que ahora debemos mirar el $5^{k+1}$, lo que sabemos es $5 \times 5^k$, por lo que es congruente a $5(2^k + 3^k) \mod 6$. Tenga en cuenta que: $$ 2^{k+1} + 2^k + 3^{k+1} + 3^k = 3(2^k + 3^k + 3^{k-1}) $$

por lo tanto, $2^{k+1} + 3^{k+1} \equiv -(2^k+3^k) \equiv 5(2^k+3^k) \mod 6$. La combinación de lo que tenemos, $5^{k+1} \equiv 2^{k+1} + 3^{k+1} \mod 6$, completando el paso inductivo.

Alternativamente, tenga en cuenta que $5^k -2^k-3^k= \sum_{k=1}^{n-1} \binom nk 2^k3^{n-k}$ es un múltiplo de a $6$ ya que cada término de la suma es múltiplo de $6$.

Answer 3

Sin la inducción: $$5^n=(2+3)^n=2^n+3^n+6k.$$

Answer 4

Multiplicar ambos lados de $$a^k+b^k\equiv(a+b)^k\pmod{ab},$$ by $a+b$ to find $$(a+b)^{k+1}\equiv(a+b)(a^k+b^k)\equiv a^{k+1}+b^{k+1}+a\cdot b^k+b\cdot a^k\pmod{ab}$$

El uso de la cara $a\cdot b^k,b\cdot a^k,$ son ambos divisibles por $ab$ $k\ge1$