Demostrar que $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\text{Si}^2(\pi n)}{n^2}=\frac{\pi^2}2$

Question

Yo estaba haciendo cálculos numéricos y se encontró

$$\sum _{n=1}^{\infty } \left(\frac{\text{Si}(\pi n)}{\pi n}\right)^2\overset{?}{=}\frac{1}{2},$$

donde $\text{Si}(x)$ significa que la integral del seno. Curiosamente, parece que sólo cuando los términos son cuadrados puede que el resultado sea un número racional.

He tratado de evaluar la siguiente expansión de la serie acerca de la $x=0$:

$$\frac{\text{Si}(\pi x)}{\pi x}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(\pi x)^{2 n}}{(2 n+1)^2 (2 n)!}=1-\frac{\pi ^2 n^2}{9}+\frac{13 \pi ^4 n^4}{2025}-\frac{8 \pi ^6 n^6}{33075}+O\left(n^8\right).$$

Pero no me da ninguna pista. Yo aún no tienen idea acerca de cómo evaluar

$$\sum_{n=1}^\infty\ \displaystyle\left(\frac{\text{Si}(\pi n)}{\pi n}\right)^2.$$

Answer 1

$$\frac{\text{Si}(\pi n)}{\pi n}=\int_{0}^{1}\frac{\sin(\pi n x)}{\pi n x}\,dx \tag{1}$$ por lo tanto para cualquier $z\in(0,1)$ $$ f(z)\stackrel{\text{def}}{=}\sum_{n\geq 1}\frac{\text{Si}(\pi n)}{\pi n}\,\cos(\pi n z)=\int_{0}^{1}\frac{W_z(x)}{x}\,dx \tag{2}$$ donde $W_z(x)$ es un piecewise linear de la función en $(0,1)$, con un salto de discontinuidad en $z$, $W_z(0^+)=W_z(1^-)=0$ y la derivada igual a $-\frac{1}{2}$ en cualquier punto de $(0,1)$, lo cual difiere de $z$,
por la serie de Fourier de la onda de diente de sierra. De ello se sigue que $$ f(z) = \int_{0}^{z}-\frac{dx}{2}+\int_{z}^{1}\frac{1-x}{2x}\,dx=-\frac{1+\log z}{2}\tag{3}$$ y por el teorema de Parseval $$ \sum_{n\geq 1}\left(\frac{\text{Si}(\pi n)}{\pi n}\right)^2 = 2\int_{0}^{1}f(z)^2\,dz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1+\log z)^2\,dz\stackrel{\color{green}{\checkmark}}{=}\frac{1}{2}\tag{4}$$ como se conjeturó.

Answer 2

No sé si te interese, pero la alternancia versión de su serie, a saber, $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left(\frac{\operatorname{Si(an)}}{n}\right)^{2} $$ has a simple closed-form expression for $- \frac{\pi}{2} \le \le \frac{\pi}{2}$.

Específicamente, $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left(\frac{\operatorname{Si(an)}}{n}\right)^{2} = \frac{a^{2}}{2} , \quad -\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2}. \tag{1}$$

Lo que es particularmente interesante acerca de $(1)$ es que se mantiene fiel si $\operatorname{Si}(an)$ es reemplazado por $\sin(an)$.

Para demostrar $(1)$, podemos integrar la función compleja $$f(z) = \pi \csc(\pi z) \left(\frac{\operatorname{Si}(az)}{z}\right)^{2} $$ around a rectangular contour (call it $C_{N}$) with vertices at $\pm \left(N+ \frac{1}{2} \right)\pm i \a la izquierda(N+ \frac{1}{2} \right)$, where $$ N es algún entero positivo.

Aviso que, salvo removible para una singularidad en el origen, la función de $\left( \frac{\operatorname{Si}(az)}{z} \right)^{2}$ es una analítica de la función en todo el plano complejo.

Así, mediante la integración de todo el contorno, y usando el hecho de que $\pi \csc(\pi z)$ sencilla polos en los números enteros con los residuos que se alternan entre el$1$$-1$, obtenemos $$\int_{C_{N}} f(z) \, dz = 2 \pi i \left(2 \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n} \left(\frac{\operatorname{Si}(az)}{z}\right)^{2} + \operatorname{Res}[f(z), 0]\right), $$ where $$\operatorname{Res}[f(z),0] = \pi \lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin(\pi z)} \left(\frac{\operatorname{Si}(az)}{z}\right)^{2} = \pi \left(\frac{1}{\pi}\right) \left(a^{2} \right) = a^{2}.$$

Si podemos afirmar que la $\csc(\pi z) \operatorname{Si}^{2}(ax)$ queda delimitada por el contorno como $N \to \infty$ a través de los enteros positivos, entonces se sigue de la estimación lema que $\int_{C_{N}} f(z) \, dz$ desvanece como $N \to \infty$.

La expansión asintótica de la integral del seno como $|z| \to \infty$ nos dice que la magnitud de la $\operatorname{Si}^{2}(az)$ eventualmente empieza a crecer de forma exponencial a medida $\operatorname{Im}(z) \to \pm \infty$.

Pero si $- \frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2}$, el decaimiento exponencial de la magnitud de $\csc(\pi z)$ $\operatorname{Im}(z) \to \pm \infty$ contadores de este crecimiento.

Por lo tanto, si $\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2}$, $$ \lim_{N \to \infty} \int_{C_{N}} f(z) \, dz = 0 = 2 \pi i \left(2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\left(\frac{\operatorname{Si}(az)}{z}\right)^{2} + a^{2}\right),$ $ y el resultado de la siguiente manera.