Subespacios de matrices cuyo determinante es $0$

Question

Consideremos las matrices de tamaño $n\times n$ sobre campo finito $\mathbb{F}_2$ . Es un espacio lineal de dimensión $n^2$ .

\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \\ x_{n1} & x_{n2} & \dots & x_{nn} \end{bmatrix}

Consideremos ahora un conjunto de matrices para las que algunas filas fijas son linealmente dependientes. Por ejemplo: dejemos que $L$ es el conjunto de matrices cuyas dos primeras filas son iguales. Está claro que $L$ es un subespacio lineal de dimensión $n^2-n$ y para todas las matrices de $L$ determinante es igual a $0$ .

Me interesa saber si es lo contrario. Dejemos que $L$ es un subespacio de dimensión $n^2-n$ y el determinante es $0$ para todas las matrices de $L$ . ¿Podemos decir que podemos fijar algún conjunto de filas que sean linealmente dependientes para todas las matrices de $L$ .

Se puede ver que hay $2^n-1$ combinación lineal de filas. Entonces la pregunta es si hay otros subespacios de dimensión $n^2-n$ cuyo determinante es $0$ o cada uno de esos subespacios se identifica con alguna combinación lineal de filas.

Answer 1

Un $n^2-n$ subespacio dimensional de matrices singulares en $M_n(\mathbb F)$ es de la forma $\{A\vert Ax=0\}$ para algún vector columna $x,$ o $\{A\vert \zeta A=0\}$ para algún vector de filas $\zeta.$

Al parecer, esto fue probado por Dieudonné, Sobre una generalización del grupo ortogonal con cuatro variables . Arch. Math., 1 (1949). No he podido acceder a ese artículo, pero un resultado más general de Meshulam (con una prueba bastante fácil de leer) está disponible aquí: http://www2.math.technion.ac.il/~meshulam/eprints/maxrank.pdf - conjunto $r=n-1$ en el Teorema 3.