Recapitulación sobre las raíces de la unidad

Question

Encontrar el valor de $\displaystyle\sum_{r=1}^{4} \frac{1}{2-\alpha^r} $ donde $ \alpha^k (k=0,1,2,3,4,5) $ son de la quinta de las raíces de la unidad.

Mi enfoque:- Como sabemos que $ \alpha^k (k=0,1,2,3,4,5) $ son de la quinta de las raíces de la unidad, a continuación, $ \alpha^k - 1$ debe ser igual a cero. Por lo tanto, la respuesta final a la suma de $\displaystyle\sum_{r=1}^{4} \frac{1}{2-\alpha^r} $ debe $\displaystyle\sum_{r=1}^{4} 1 = 4 $

Pero la respuesta dada es $ \dfrac{ 49}{31} $

Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada!

Answer 1

Otra prueba: $$P(x)=x^5-1=\prod_{r=0}^4(x-\alpha^r)$$ Por lo tanto $$\frac{P^{\prime}(x)}{P(x)}=\frac{5x^4}{x^5-1}=\sum_{r=0}^4\frac{1}{x-\alpha^r}$$ Ahora pon $x=2$ en esta fórmula.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\newcommand{\al}{\alpha}\frac1{2-\al^r} =\sum_{k=0}^\infty\frac{\alpha^{kr}}{2^{k+1}}$$ y así $$\sum_{i=0}^4\frac1{2-\al^r} =\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{k+1}}\sum_{i=0}^4\al^{kr}.$$ El interior de la suma es cero, a menos que $5\mid r$. Así $$\sum_{i=0}^4\frac1{2-\al^r}=5\sum_{s=0}^\infty\frac1{2^{5s+1}} =\frac{5}{2(1-1/32)}=\frac{80}{31}.$$ Ahora resta $1/(2-1)=1$ conseguir $49/31$.

Answer 3

Desde $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2 \dots \alpha_{4}$ son raíces de la ecuación

$$x^5-1=0 \tag1$$

Puede aplicar la Transformación de las Raíces para encontrar una ecuación cuyas raíces son$$\frac{1}{2-\alpha_0} , \frac{1}{2-\alpha_1},\dots \frac{1}{2-\alpha_{4}}$$

Deje $P(y)$ representan el polinomio cuyas raíces son $\frac{1}{2-\alpha_k}$

$$y=\frac{1}{2-\alpha_k}=\frac{1}{2-x} \implies x=\frac{2y-1}{y}$$

Poner en $(1)$

$$\Bigg(\frac{2y-1}{y}\Bigg)^5-1=0 \implies (2y-1)^{5}-y^{5}=0$$

Uso Teorema Binomial para encontrar el coeficiente de $y^5$$y^{4}$.Obtendrá de la suma de las raíces el uso de las Fórmulas de Vieta.

Espero que ayude!

Answer 4

Si $\alpha^5 = 1$, $\frac{1}{2-\alpha} = c_0 + c_1 \alpha + \ldots + c_4 \alpha^4$ donde $$\eqalign{ 2 c_0 - c_4 &= 1\cr 2 c_1 - c_0 &= 0\cr 2 c_2 - c_1 &= 0\cr 2 c_3 - c_2 &= 0\cr 2 c_4 - c_3 &= 0\cr}$$ La solución de esto es $$c_0 = 16/31,\; c_1 = 8/31,\; c_2 = 4/31,\; c_3 = 2/31,\; c_4 = 1/31$$ Entonces $$ \eqalign{\sum_{i=1}^4 \frac{1}{2-\alpha^r} &= \frac{16}{31}\sum_{i=1}^4 1 + \frac{8}{31}\sum_{i=1}^4 \alpha^r + \frac{4}{31}\sum_{i=1}^4 \alpha^{2r} + \frac{2}{31}\sum_{i=1}^4 \alpha^{3r} + \frac{1}{31}\sum_{i=1}^4 \alpha^{4r}\cr &= \frac{16}{31} \cdot 4 - \frac{8}{31} - \frac{4}{31} - \frac{2}{31} - \frac{1}{31} = \frac{49}{31}}$$