"Clase" de funciones cuyo inverso, cuando se define, es la misma "clase"

Question

Por favor, disculpe el uso amateur del término "clase", no sé cuál es el término exacto para lo que estoy buscando.

De todos modos, los detalles.

Estoy preguntando específicamente acerca de las funciones de valor real en el dominio real ( $ \mathbb {R} \to\mathbb {R}$ ). Para simplificar, supongamos que la función está definida en algún intervalo de interés, y es continua y estrictamente monótona en ese intervalo, de modo que hay una función inversa que también es continua y monótona.

Estoy buscando una "clase" de funciones donde el inverso es de la misma "clase". Por "clase" me refiero a un conjunto de funciones con un número finito de parámetros que, si los cambiara, la función seguiría estando en la misma "clase". (Un ejemplo obvio de lo que quiero decir con "clase" son los polinomios: puedes cambiar los coeficientes pero la función sigue siendo un polinomio). De nuevo me disculpo si esto es omitir un detalle o si hay una pequeña palabra bonita para esto que no conozco.

Conozco algunos ejemplos de "clases" que cumplen estos criterios, incluyendo:

• Funciones lineales
• Funciones lineales a destajo

Los polinomios, por supuesto, no se ajustan a este criterio en general: el inverso de un polinomio no es generalmente un polinomio. Tampoco creo que las funciones racionales lo hagan, pero no estoy seguro.

Para que conste, pregunto en parte por curiosidad, y en parte porque tengo una bonita solicitud en mente. Tengo una aplicación en la que necesito una función que pueda aproximarse a una curva con un perfecto giro de ida y vuelta ( $f(f'(x))=x$ exactamente). Estamos usando la aproximación lineal por ahora, pero es deseable que sea suave también.

Gracias.

Answer 1

Sus dominios no suelen ser todos de $\Bbb R$ pero el conjunto de Transformaciones de Moebius funciones de la forma $$f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \quad \text{with}\quad ad - bc \neq 0,$$ son un maravilloso grupo de funciones cuyas inversas son también de esa forma (y subsumen las funciones lineales, dejando que $c = 0$ ). También se les llama " transformaciones lineales fraccionarias " (Pensé que era convencional llamarlos transformaciones lineales fraccionarias cuando sólo consideraba entradas de números reales, pero evidentemente me equivoco).

Por lo general, la gente permite entradas complejas para las transformaciones de Moebius.

Answer 2

La familia más grande es, por supuesto: $\{ \textrm{all invertible functions} \}$ .

Además de la familia de Pjs, otra pequeña familia en la que podría pensar es la familia

$\{f_{c,d}(x) = cx^{d} | c, d \in \mathbb{R}^\times \}$

Por supuesto, en este caso: $f_{c,d}^{-1} = f_{c^{(d^{-1})}, d^{-1}}$ .

Answer 3

Una respuesta podría ser la familia de todas las funciones definidas localmente por series de potencias de la forma $$ f(x) := -x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + c_5 x^5 + c_6 x^6 + c_7 x^7 + c_8 x^8 + O(x^9)$$ donde $\; c_3 = -c_2^2,\; c_5 = 2c_2^4-3c_2c_4,\; c_7 = -13c_2^6+18c_2^3c_4-2c_4^2-4c_2c_6\;$ y tienen la propiedad de que $\;f(f(x))=x.\;$ Es decir, cada función es su propia inversa. Los coeficientes de las potencias pares de $x$ El $c_2,c_4,c_6,\dots,$ son arbitrarios mientras que $c_3,c_5,c_7,\dots,\;$ son polinomios en los coeficientes de potencia pares.

Cada función es decreciente en un intervalo alrededor del origen, pero utilizando transformaciones lineales o fraccionarias lineales, pueden ajustarse para adaptarse a un propósito. Por ejemplo, tomemos $\;a f(c(x-d))+b.$

Algunos ejemplos de estas funciones $f$ son: $f(x) := -x/(1-x),\; f(x) := x-1+\sqrt{1-4x},\; f(x) := (-1+\sqrt{1-4x^3})/(2x^2).$

A continuación damos una forma de construir dichas funciones. Sea $\;g(x) := a_1x +a_2x^2 + a_3x^3 + O(x^4)\;$ donde $\;x + f(x) = g(x f(x)).\;$ Ahora, a partir de $\;f(x) = -x + g(x f(x)),\;$ esto se puede iterar a $f(x) = -x + g(x (-x + g(x f(x)))) = -x + g(x (-x + g(x (-x + \dots)))).\;$ Dada una función $\;g(x),\;$ con $\;g(0)=0,\;$ podemos calcular $\;f(x)\;$ de forma iterativa, de manera que $\;f(f(x))=x.$ Explícitamente, $$ f(x) = -x + (-a_1)x^2 + (-a_1^2)x^3 + (-a_1^3+a_2)x^4 + (-a_1^4+3a_1a_2)x^5 + O(x^6).$$

Obsérvese que, dado que $f(x)$ se determina por $g(x)$ que puede ser cualquier serie de potencias con $\;g(0)=0,\;$ podemos dejar que sea un polinomio. Por ejemplo, si $\;g(x) := -x^2,\;$ entonces $\;f(x) = -(1-\sqrt{1-4x^3})/(2x^2).\;$ Si $\;g(x):=x,\;$ entonces $\;f(x)=-x/(1-x).$

Answer 4

Respondiendo a mi propia pregunta, mucho más tarde. La aplicación para la que necesitaba esto sigue siendo un problema, y finalmente pensé en algo que creo que funcionará. (Espera, qué, quieres decir que quiero utilice ¿matemáticas para algo? Raro).

Me he dado cuenta de que hay una forma bastante genérica de obtener una función que cumpla mis requisitos, aunque no puedo decir que tenga una prueba de que pueda funcionar en general para cualquier intervalo de interés deseado, incluso si la función es monótona en ese intervalo.

Supongamos que tenemos una función de valor real $F(x,y;A,B,C,D,...)$ definido en alguna región del $x,y$ -en términos de un número finito de parámetros de valor real $A,B,C,D,...$ , tal que existe otro conjunto de parámetros de valor real $Z,Y,X,W,...$ para lo cual $F(x,y;A,B,C,D,...)=F(y,x;Z,Y,X,W,...)$ . En otras palabras, una función de $x$ y $y$ donde se puede intercambiar $x$ y $y$ y la función será de la misma excepto por el valor de los parámetros. Estoy seguro de que hay un nombre elegante para esto como la simetría incompleta o algo así.

Ahora, si la ecuación $F(x,y;A,B,C,D,...)=0$ tiene una solución general de forma cerrada para $y$ en una zona en la que la curva es unívoca y monótona en términos de $x$ entonces tendrá la misma solución general de forma cerrada para $y$ , excepto el valor de los parámetros.

Así, se puede obtener una función que cumpla los requisitos que he expuesto.

Ejemplo. La siguiente ecuación es la forma general de una ecuación que representa secciones cónicas en el plano real:

$$ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $$

La solución general de esta ecuación para $x$ sobre una región en la que la curva es unívoca y monótona en términos de $y$ es:

$$ y=Zx^2+Yx+X+W\sqrt{x^2+Vx+U} $$

Asimismo, la solución general de esta ecuación para $y$ es:

$$ x=Zy^2+Yy+X+W\sqrt{y^2+Vy+U} $$

Así, la función $f(x)=Zx^2+Yx+X+W\sqrt{x^2+Vx+U}$ , en una región donde es monótona, tiene una inversa es de la misma forma.

Lo único es que no creo que esto necesariamente se mantiene para intervalos arbitrarios, incluso si $f$ es monótona en ese intervalo y, por tanto, invertible. Sin embargo, en la práctica, para mi caso de uso, creo que será suficiente por una sencilla razón: puedo unir varios de ellos si lo necesito. Si, por ejemplo, hay un punto en el que los parámetros tienen que cambiar, puedo poner una pausa en ese punto.

Así que mi respuesta general para esto es cónicas parcheadas a trozos, cuya inversa es también cónicas parcheadas a trozos.